第五章 培优课 复数的多元化（课件+学案+练习，共3份） 北师大版（2019）必修 第二册 第五章

培优课　复数的多元化 课标要求　1.了解与复数有关的数学知识,理解复数与常用逻辑用语的关系. 2.理解复数加减法的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解决简单问题. 3.会解决关于复数范围内实系数一元二次方程根的问题. 【引入】 复数的四则运算和复数的几何意义是高考考查的重点.复数作为向量,还可以发挥它的工具作用,与其他知识相结合,成为知识之间的纽带. 一、复数与逻辑用语 例1 (1)设有下面四个命题 p1:若复数z满足∈R,则z∈R; p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R; p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=; p4:若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为 (　　) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 (2)若z=cos θ+isin θ(i为虚数单位),则θ=+2kπ(k∈Z)是z2=-1的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 _____ _____ _____ 思维升华　复数与逻辑用语的解题策略 (1)利用定义判断.直接判断“若p,则q”、“若q,则p”的真假,在判断时,确定条件是什么结论是什么. (2)从集合的角度判断,利用集合中包含思想来判定. 训练1 (1)设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)若z1,z2为复数,则“z1+z2为实数”是“z1,z2互为共轭复数”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 _____ _____ _____ 二、复数与数学文化 例2 德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法,形成由各点都对应复数的“复平面”,后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”. 若复数z满足(3+4i)·z=7+i,则z对应的点位于第　　　　象限,|z|=　　　　. _____ _____ _____ 思维升华　复数与数学文化解题策略 (1)通读题目,了解题目中的各个“元素”,理解“元素”间的关系并适当标注. (2)翻译语言,将题目中的关键语句“翻译”成数学语言,再把数学语言转化成字母符号语言或图形语言. (3)建立模型,抽象成数学模型. 训练2 (1)在复平面内,复数z=a+bi(a∈R,b∈R)对应向量(O为坐标原点),设||=r,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为θ,则z=r(cos θ+isin θ).法国数学家棣莫佛发现棣莫佛定理:若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].由棣莫佛定理导出了复数乘方公式:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),则(-1+i)10= (　　) A.1 024-104 i C.512-512 i (2)(多选)欧拉公式exi=cos x+isin x(其中i为虚数单位,x∈R)将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论中占有非常重要的地位,被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式,则 (　　) A.eπi=1 B.为纯虚数 C. D.复数e2i对应的点位于第三象限 三、复数与平面向量 例3 四边形ABCD为复平面内的平行四边形,向量对应的复数为5,对应的复数为-2-3i,对应的复数为-6+4i. (1)求点D对应的复数; (2)判断A,B,C,D四点是否在同一个圆上,并证明你的结论. _____ _____ _____ 思维升华　复数z与复平面内的向量是一一对应的关系,复数的加法可以按照向量的加法来进行,即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则. 训练3 (1)(多选)在复平面内,一个平行四边形ABCD的3个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,则第四个顶点对应的复数可以是 (　　) A.3-i B.-1+3i C.3+i D.-3-i (2)已知复平面内的点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π).设x的图象上,则θ=　　　　　　　　. 四、复数与实系数一元二次方程 例4 设a>0,在C内解方程z2+2|z|=a. _____ _____ _____ 思维升华　 ... ...