章末复习提升 注:以上a,b,c,d∈R. 一、复数的概念 形如z=a+bi(a,b∈R)的复数,当b=0时是实数,当b≠0时是虚数,当a=0且b≠0时,为纯虚数. 例1 已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数a取什么值时,z分别为(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. _____ _____ _____ 训练1 (1)若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z2+的虚部为 ( ) A.0 B.-1 C.1 D.-2 (2)已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,其中m为实数,i为虚数单位,若z1-z2=0,则m的值为 ( ) A.4 B.-1 C.6 D.-1或6 二、复数的几何意义 复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)一一对应,与以原点为起点的向量一一对应.|z1-z2|则是复平面上复数z1,z2对应的点Z1,Z2之间的距离. 例2 已知|z|=1. (1)求|z-(2+2i)|的最值; (2)求|z-i|·|z+1|的最大值. _____ _____ _____ 训练2 (1)若i为虚数单位,复数z满足|z+,则|z-2i|的最大值为 ( ) A.2 B.3 C.2 (2)如图所示,圆O为单位圆,M,P,Q,R,T表示的复数分别为z,z1,z2,z3,z4,则只可能是 ( ) A.z1 B.z2 C.z3 D.z4 _____ _____ 三、复数代数形式的四则运算 代数形式的复数加、减法对应实、虚部分别相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根式的分母有理化,将分母“实数化”. 例3 计算: (1); (2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i). _____ _____ _____ 训练3 已知z1=a+2i,z2=3-4i(其中i为虚数单位). (1)若为纯虚数,求实数a的值; (2)若|z1-|<|z1|(其中是复数z2的共轭复数),求实数a的取值范围. _____ _____ _____ *四、复数的三角形式及运算 复数z=r(cos θ+isin θ)即为复数的三角形式,其特点是:模非负、角相同、前余后正加号连,缺任一条件都不是三角形式,其中θ为辐角.用复数的三角形式进行乘、除法运算仍得复数的三角形式,即模相乘(除)辐角相加(减). 例4 已知复数z1=i,z2=cos 30°-isin 30°,是z2的共轭复数,且,求复数z的三角形式与代数形式. _____ _____ _____ 训练4 已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=,(1+)2+(1+i)2=1+kω. (1)求ω; (2)设复数z=cos θ+isin θ,θ∈[0,2π), 若|z-ω|=1+,求θ的值. _____ _____ _____ 章末复习提升 例1 解 (1)当z为实数时,则有 ∴ ∴当a=6时,z为实数. (2)当z为虚数时,则有 ∴∴a≠±1且a≠6, 即当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z为虚数. (3)当z为纯虚数时,则有 ∴ ∴不存在实数a,使z为纯虚数. 训练1 (1)A (2)B [(1)因为z=1+i,所以=1-i, 所以z2+=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0. (2)由题意可得z1=z2, 即m2-3m+m2i=4+(5m+6)i, 根据两个复数相等的充要条件可得 解得m=-1.] 例2 解 (1)|z-(2+2i)|表示单位圆上的点到点(2,2)的距离, 由图(1)可知|z-(2+2i)|min=2-1, |z-(2+2i)|max=2+1. (2)设z=x+yi,x,y∈R,对应点E,i对应点A(0,1),-1对应点B(-1,0),由图(2)可知∠AEB=45°, AE=|z-i|,BE=|z+1|, 则S△ABE=|z-i|·|z+1|·sin 45°. 要使|z-i|·|z+1|取最大值, 必须使S△ABE最大, 当E到AB的距离最大时,S△ABE最大, 当E点坐标为时,到AB距离最大, 此时z=i,则|z-i|·|z+1|取最大值,为2+. 训练2 (1)D (2)B [(1)因为|z+表示复平面内以点M(-,-1)为圆心,半径R=的圆及其内部,|z-2i|表示圆及其内部的点到点N(0,2)的距离,如图所示,所以|z-2i|max=MN+R ==3. (2)由题意设z=a+bi(a,b∈R),a2+b2>1,a>0,b>0, 则i, 显然有0<<1,-1<-<0,且<1, 所以只可能是Q对应的z2.] 例3 解 (1)=i(1+i)+=-1+i+(-i)1 012=-1+i+1=i. (2)原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i) =22-14i+25-25i=47-39i. 训练3 解 (1)由z1=a+2i,z2=3-4i,得 =i, ∵为纯虚数,∴=0,且≠0, ∴a=. (2)z1-=(a+2i)-(3+4i)=(a-3)-2i, ∵<|z1|, ∴<|z1|2, 即(a-3)2+4
. 故实数a的取值范围是. 例4 解 z1=i=cos(-60°)+isin(-60°), =cos 30°+isin 30°, ∴=[cos(-60°)+i ... ... 