3 导数的计算（课件+学案+练习，共3份）北师大版（2019）选择性必修 第二册 第二章

§3　导数的计算 课标要求　1.理解导函数的定义. 2.掌握常见函数的导数公式. 3.能利用导数公式求简单函数的导数. 【引入】 高铁是目前非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s关于时间t的函数为s＝f(t)，求高铁的瞬时速度，即f(t)的导数.根据导数的定义，运算比较复杂，是否有更好的求导方法呢？而且，对于y＝sin x，y＝ln x等很难运用定义求导的函数，是否有更简便的求导方法呢？ 一、定义法求函数的导数 探究1 如何利用导数的定义求函数y＝f(x)＝＋x在x＝x0处的导数？ _____ _____ _____ _____ 探究2 当x0在定义域内任意取值时，f′(x0)的值是如何变化的？ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 导函数的概念 一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数 f′(x)＝_____， 那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′. 温馨提示　导数f′(x0)是对一个点而言，是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，与Δx无关；而导函数f(x)是对一个区间而言，是一个函数，也与Δx无关. 例1 (链接教材P63例2)求函数f(x)＝(2x＋1)·(3x－1)在下列各点处的导数. (1)x＝1；(2)x＝x0. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数； (2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； (3)当Δx趋于0时，得到导函数f′(x)＝ . 训练1 求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数和它的导函数. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 二、利用导数公式求函数的导数 探究3 利用导数的定义，你能求出函数f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝x3，f(x)＝， f(x)＝的导数吗？ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 探究4 观察上述五个函数的导数的共同特点，你能得到f(x)＝xα(α为实数)的导数吗？ _____ _____ _____ 【知识梳理】 函数的导数公式 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝_____ y＝xα(α是实数) y′＝_____ y＝ax(a>0，a≠1) y′＝_____，特别地(ex)′＝_____ y＝logax(a>0，a≠1) y′＝_____，特别地(ln x)′＝_____ y＝sin x y′＝_____ y＝cos x y′＝_____ y＝tan x y′＝_____ 温馨提示　对于函数f(x)＝，要先转化为f(x)＝x，再得到f′(x)＝x－1. 例2 (链接教材P65练习T1)求下列函数的导数. (1)y＝；(2)y＝；(3)y＝6tan x；(4)y＝log3x. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导. (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导. (3)要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数的区别. 训练2 求下列函数的导数. (1)y＝cos 1；(2)y＝；(3)y＝sin x；(4)y＝. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 三、导数公式的应用 例3 (链接教材P66习题2－3A组T5)已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 迁移1 求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 迁移2 求曲线y＝ln x过点M(0，1)的切线方程. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数. (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 训练3 (1)曲线y＝cos x在点A处的切线方程为_____. (2)已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝_____. 【 ... ...