第6章 第24讲 与圆有关的位置关系【2025中考数学第1轮复习考点梳理练 】(原卷版+解析版+讲解ppt)

/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科 第六章　圆 第24讲　与圆有关的位置关系 点与圆的位置关系 图示 ⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d 点在圆外 d＞r 点在圆上 d＝r 点在圆内 d＜r 直线与圆的位置关系 位置关系 示意图 d与r的关系 公共点个数 相交 d＜r 2个 相切 d＝r 1个 相离 d＞r 0个 切线的性质与判定 定义 直线与圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点 性质定理 切线垂直过切点的半径(或直径) 推论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； (2)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心 判定方法 (1)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； (2)圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 切线长和切线长定理 切线长 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长 切线长 定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 常见结论 如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，AB交PO于点C， 则有如下结论： (1)PA＝PB； (2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP； (3)AB⊥OP且AC＝BC 三角形的内切圆 概念 内心(三角形的内切圆圆心或三角形三条角平分线的交点) 性质 三角形的内心到三角形的三条边的距离相等 角度关系 ∠BOC＝90°＋∠A　 【夺分宝典】(1)任意三角形的内切圆(如图1)： 利用等面积法，得r＝. (2)直角三角形的内切圆(如图2)： 利用等面积法，得r＝； 利用切线长定理，得r＝.　　 　　 【夺分宝典】 当切点不确定时，常用的方法如下： (1)当有角平分线时，可利用角平分线的性质，来证明所作垂线等于半径； (2)当存在线段相等、角相等等条件时，通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质，来证明所作垂线等于半径． 考向1　直线与圆的公共点未知 当直线与圆的公共点未知时，常过圆心作直线的垂线段，证明圆心到直线的距离等于半径，简记“作垂直，证半径”． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB是⊙D的切线． 【自主解答】证明：过点D作DE⊥AB于点E. ∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°， ∴CD＝DE， ∴DE是⊙D的半径， ∴AB是⊙D的切线． 【夺分宝典】 当题干中有与“要证的切线垂直”的直线，则连接圆心与切点，证明半径与该直线平行． 求线段长的问题时，因题图中多含直角三角形，因此可以考虑从以下方面来找突破口：(1)勾股定理；(2)锐角三角函数；(3)相似三角形． 若题中含有30°，45°，60°角或三角函数值时，常考虑用三角函数求解；若不含，常考虑用相似三角形求解． 考向2　直线与圆的公共点已知 当直线与圆的公共点已知时，常连接圆心与直线和圆的公共点，证所连半径与直线垂直，简记“连半径，证垂直”． 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F.求证：EF是⊙O的切线． 【自主解答】证明：连接AD，OD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC. ∵AB＝AC， ∴BD＝CD. ∵OA＝OB， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC. ∵EF⊥AC， ∴OD⊥EF. ∵OD是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线． 如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，E是的中点，弦CE，BD相交于点F. (1)求∠OCB的度数； (2)若EF＝3，求⊙O的直径． 【自主解答】解：(1)∵PC与⊙O相切， ∴OC⊥PC， ∴∠OCB＋∠BCP＝90°. ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC. ∵∠ABC＝2∠BCP， ∴∠OCB＝2∠BCP，∴3∠BCP＝90°， ∴∠BCP＝30°，∴∠OCB＝60°. (2)连接DE. ∵CD是⊙O的直径，∴∠E ... ...