中考复习模型9：函数中的存在性问题模型（PDF，无练习）

中考数学，常考模型汇总 模型九 函数中的存在性问题模型 1.等腰三角形的存在性问题 问题：已知线段 AB，在直线 l上找一点 P，使得△ABP为等腰三角形． （1）利用作图确定动点位置，等腰三角形 ABP可分为下面三种情况： ①当 AB＝AP时，以 A为圆心，AB长为半径作圆，与直线 l相交于点 P1，P2； ②当 BA＝BP时，以 B为圆心，AB长为半径作圆，与直线 l相交于点 P3，P4； ③当 AP＝BP时，作 AB的垂直平分线交直线 l于点 P5.注：需排除点 P与 AB共线的情况 （2）依据题意确定满足条件的点的坐标的方法 利用两点间的距离公式和两腰相等，建立方程求解： ①当 AB＝AP时， （xA－xB）2＋（yA－yB）2 ＝ （xA－xP）2＋（yA－yP）2 ； ②当 BA＝BP时， （xA－xB）2＋（yA－yB）2 ＝ （xB－xP）2＋（yB－yP）2 ； ③当 AP＝BP时， （xA－xP）2＋（yA－yP）2 ＝ （xB－xP）2＋（yB－yP）2 29/39 中考数学，常考模型汇总 2.直角三角形的存在性问题 问题：已知线段 AB，在直线 l上找一点 P，使得△ABP为直角三角形． （1）利用作图确定动点位置，Rt△ABP可分为下面三种情况： ①当∠BAP为直角时，过点 A作直线 l1⊥AB，与直线 l相交于点 P1； ②当∠ABP为直角时，过点 B作直线 l2⊥AB，与直线 l相交于点 P2； ③当∠APB AB为直角时，以 AB的中点 O为圆心， 长为半径作圆，与直线 l相交于点 P3，P2 4 （2）依据题意确定满足条件的点的坐标的方法 方法一：利用两点间的距离公式和勾股定理，建立方程求解： ①当∠BAP为直角时，BP2＝AB2＋AP2， 即（xB－xP）2＋（yB－yP）2＝（xA－xB）2＋（yA－yB）2＋（xA－xP）2＋（yA－yP）2； ②当∠ABP为直角时，AP2＝AB2＋BP2， 即（xA－xP）2＋（yA－yP）2＝（xA－xB）2＋（yA－yB）2＋（xB－xP）2＋（yB－yP）2； ③当∠APB为直角时，AB2＝AP2＋BP2， 即（xA－xB）2＋（yA－yB）2＝（xA－xP）2＋（yA－yP）2＋（xB－xP）2＋（yB－yP）2 方法二：利用斜率公式，建立方程求解： ①当∠BAP为直角时，kAB·k 1 yB－yA ·yP－yAAP＝－ ，即 ＝－1； xB－xA xP－xA ②当∠ABP yB－yA yP－yB为直角时，kAB·kBP＝－1，即 · ＝－1； xB－xA xP－xB ③当∠APB为直角时，kAP·k yP－yA yP－yB BP＝－1，即 · ＝－1 xP－xA xP－xB 30/39 中考数学，常考模型汇总 3.平行四边形的存在性问题 类型一 （两定两动）问题： 已知两定点（点 A，B）和两动点的运动轨迹,判断是否存在 满足条件的平行四边形. ①如图①，当 AB为边时，通过平移得到平行四边形， 如 ABD2C2， ABD1C1； ②如图②，当 AB为对角线时， 通过构造另一条对角线 C3D3得到平行四边形， 如 AD3BC3 类型二 （三定一动）问题： 已知三定点（点 A，B，C）和一动点， 判断是否存在满足条件的平行四边形． 如图，三定点确定△ABC， 分别过点 A，B，C作△ABC三条边的平行线， 则三条平行线的交点 D1，D2，D3即为所求（平行相交法） 先写出或设出四个顶点的坐标，再依据题意求满足条件的点的坐标． 方法一：利用平行四边形对角线互相平分的性质，建立方程求解： xA＋xB＝xC＋xD， ①当 AB为对角线时， yA＋yB＝yC＋yD； xA＋xC＝xB＋xD， xA＋xD＝xB＋xC， ②当 AC为对角线时， ③当 AD为对角线时， yA＋yC＝yB＋yD； yA＋yD＝yB＋yC. 方法二：利用平行四边形对边平行且相等的性质，建立方程求解． 例如，当 AB∥CD时，kAB＝kCD，AB＝CD， 即（xB－xA）2＋（yB－yA）2＝（xD－xC）2＋（yD－yC）2 31/39 中考数学，常考模型汇总 3，相似三角形的存在性问题 问题：已知△ABC，若△DEF和△ABC相似，请确定△DEF中未知的顶点坐标 （1）先找到一组等角（如图，∠A＝∠D）： 已知一组等角或需要通过解直角三角形等过程得到一组等角． （2）方法一：找夹角（已知的一 ... ...