第五章 一元函数的导数及其应用 章末拓展试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台 第五章 一元函数的导数及其应用 章末拓展试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册 一、单选题 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ） A． B． C． D． 3．点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ） A．1 B． C．2 D． 4．已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（ ） A． B． C． D． 6．设，若为函数的极大值点，则（ ） A． B． C． D． 7．设，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，下列说法正确的是（ ） A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 10．已知函数，则（ ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 11．已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则（ ） A． B．的一个周期是4 C．是偶函数 D． 三、填空题 12．曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为 . 13．已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求 . 14．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 四、解答题 15．已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 16．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知时，直线为曲线的切线，求实数的值． 17．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米. （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低 18．已知函数. （1）讨论的单调性； （2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由. 19．已知函数的最小值为0. (1)求． (2)证明：（i）； （ii）对于任意. 参考答案 1．D 利用导数的定义，把转化为，利用导数的四则运算求出，代入即可求解. ，， ． 故选：D. 2．D 设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解. 由得，由得， 设过原点的直线分别与曲线相切于点， 则由导数的几何意义得，且，故，所以直线的斜率为， 所以，所以，所以，即， 代入得. 故选：D 3．D 问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案. 因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 4．D 令 ，由题意可得 为定义域上的偶函数，且在 上单调递增，在 上单调递减；分 与 两类讨论，将不等式 等价转化为 与 ，分别解之即可． 令 ， 当 时， ， 当 时， ， 在 上单调递减； 又 为 的奇函数， ，即 为偶函数， 在 上单调递增； 又由不等式 得 ， 当 ，即 时，不等式可化为 ，即 ， 由 在 上单调递减得 ，解得 ，故 ； 当，即 时，不等式可化为 ，即 ， 由 在 上单调递增得 ，解得 ，故 ； 综上所述，不等式 的解集为： ． 故选：D． 5．C 对函数求导得，易知为奇 ... ...