第五章 一元函数的导数及其应用 章末闯关试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台 第五章 一元函数的导数及其应用 章末闯关试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册 一、单选题 1．已知函数，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．设，则（ ） A． B． C．3 D．12 3．曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ） A． B． C． D． 6．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A． B． C． D． 8．已知，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ） A．在上单调递减 B．有极小值 C．有3个极值点 D．在处取得最大值 10．若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ） A．的图象关于中心对称 B．有3个不同的零点 C．最小值为 D．对任意，都有 11．已知函数的定义域为，其导函数为，若函数的图象关于点对称，，且，则（ ） A．的图像关于点对称 B． C． D． 三、填空题 12．函数的最小值为 . 13．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 14．自“一带一路”倡议提出以来，中俄两国合作共赢的脚步越来越快．中俄输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，如图，管道沿A、E、F、B拐过直角（线段EF过O点，点E，O，F在同一水平面内），峡谷的宽分别为27m、8m，如图所示，设EF与较宽侧峡谷崖壁所成的角为，则EF得长 m，（用表示），要使输气管道顺利通过拐角，EF长度不能低于 m 四、解答题 15．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数有最小值2，求的值. 16．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为． （1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式； (2)比较（1）中与的大小. (3)证明：. 19．已知函数（）． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若对于任意的恒成立，求a的取值范围； (3)若数列满足且（），记数列的前n项和为，求证：． 参考答案 1．C 画出函数的图象，观察与连线的斜率即得. 作出函数的图象，如图所示. 由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小. 由，得，即. 故选：C. 2．B 根据导数的定义进行转化即可. ，. 故选：B 3．C 先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 4．B 求导直接求解即可. 解：求导得， 所以，解得 故选:B 5．D 由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调 ... ...