第3章 整式的乘除 微素养·专题突破四 整式运算的实际应用（含答案） 浙教版（2024）数学七年级下册

　整式运算的实际应用 一、面积类的计算 【例1】 如图，某村开展了“美丽乡村”建设，现准备在一块长为(3x＋y)米，宽为(2x＋y)米的长方形土地上，划出一块边长为(x＋y)米的正方形建设村民活动中心，为村民休闲健身提供去处，并将图中的阴影部分进行绿化。 (1)求绿化面积。(用含x，y的代数式表示) (2)求当x＝5，y＝4时的绿化面积。 解：(1)根据题意得，绿化面积为(3x＋y)(2x＋y)－(x＋y)2＝6x2＋3xy＋2xy＋y2－x2－2xy－y2＝(5x2＋3xy)平方米。 (2)当x＝5，y＝4时， 原式＝5×52＋3×5×4 ＝125＋60＝185(平方米)， 答：绿化面积是185平方米。 【变式】 7张如图1所示的长为a、宽为b(a>b)的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示。设左上角与右下角的阴影部分的面积差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足(　B　) A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b 二、结合乘法公式 【例2】 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙。图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12。 (1)正方形A，B的面积之和为__13__。 (2)若三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积。 解：(1)设正方形A，B的边长分别为a，b(a＞b)， 由图甲得(a－b)2＝1，由图乙得(a＋b)2－a2－b2＝12， 得ab＝6，a2＋b2＝13。 故答案为13。 (2)∵ab＝6，a2＋b2＝13，∴(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝1＋24＝25。∵a＋b＞0，∴a＋b＝5。 ∵(a－b)2＝1，且a>b，∴a－b＝1， ∴图丙的阴影部分面积S＝(2a＋b)2－3a2－2b2＝a2－b2＋4ab＝(a－b)(a＋b)＋4ab＝5＋24＝29。 【变式】 用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式。例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2＋2ab＋b2，由此得到＝a2＋2ab＋b2。 (1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为a＋b＋c的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为__＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc__。 (2)利用(1)中的结论解决以下问题： ①已知a＋b＋c＝10，ab＋ac＋bc＝38，求a2＋b2＋c2的值。 ②如图3，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，点D，G，C在同一直线上，连结BD，DF。若a－b＝2，ab＝3，求图3中阴影部分的面积。 解：(1)＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc。 (2)①由(1)结论变形知， a2＋b2＋c2＝－2ab－2ac－2bc ＝100－2(ab＋ac＋bc) ＝100－76 ＝24。 ②S阴影＝S正方形ABCD－S△DGF－S△ABD－S正方形FECG ＝AB·AD－FG·DG－AB·AD－EC·CG ＝a2－b－a2－b2 ＝a2－ab－b2 ＝－ab ＝－ab。 ∵a－b＝2，ab＝3且＝＋4ab＝16，a＋b>0， ∴a＋b＝4，∴S阴影＝×4×2－×3＝。 【例3】 小红家的收入分农业收入和其他收入两部分，今年农业收入是其他收入的1.5倍，预计明年农业收入将减少20%，而其他收入将增加40%，那么预计小红家明年的全年总收入是增加了还是减少了？ 解：设小红家今年其他收入为a元，则农业收入为1.5 a元， 故预计明年全年收入比今年多1.5a×(1－20%)＋(1＋40%)a－(a＋1.5a)＝1.2a＋1.4a－2.5a＝0.1a(元)。 答：明年的全年总收入将比今年增加。 【例4】 【计算】 小红计算＋－－2y2时，得到的结果是x2＋y2－xy，则“”表示的数为__4__。 【发现】 小红对计算结果x2＋y2－xy很感兴趣，她发现有些数A可以表示成A＝x2＋y2－xy(x，y为自然数)的形式，她把这类数称为“有趣数”，例如：3＝22＋12－2×1，19＝52＋32－5×3，327＝192＋172－19×17，…，所以3，19，327是“有趣数”。请写出两个10以 ... ...