第4章因式分解 微素养·专题突破 五巧用因式分解解题（含答案） 浙教版（2024）数学七年级下册

　巧用因式分解解题 【例1】 计算。 (1)(－3)2 023＋(－3)2 024。 (2)92＋112＋9×22。 解：(1)原式＝(－3)2 023×(－3＋1)＝2·32 023。 (2)原式＝92＋112＋2×9×11＝(9＋11)2＝202＝400。 【例2】 在边长为a的正方形的一角减去一个边长为b的小正方形(a＞b)，如图1。 (1)由图1得阴影部分的面积为__a2－b2__。沿图1中的虚线剪开拼成图2，则图2中阴影部分的面积为__(a＋b)(a－b)__。 (2)由(1)的结果得出结论：__a2－b2＝(a＋b)(a－b)__。 (3)利用(2)中得出的结论计算：2 0232－2 0242。 解：2 0232－2 0242＝(2 023＋2 024)(2 023－2 024)＝－4 047。 【变式】 教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径。例如，选取图1中的正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式：a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)或(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2。 (1)请根据图3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算(x－2y－3)2。 (2)若x2＋y2＋z2＝1，xy＋yz＋xz＝3，求x＋y＋z的值。 (3)试借助图1的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式3a2＋7ab＋2b2分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内。 Ｋ 解：(1)由题意，得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， 则(x－2y－3)2＝x2＋4y2＋9－4xy－6x＋12y。 (2)同(1)，得(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2xz。 把x2＋y2＋z2＝1，xy＋yz＋xz＝3代入， 得(x＋y＋z)2＝1＋2×3＝7， ∴x＋y＋z＝±。 (3)拼图如下图所示。 3a2＋7ab＋2b2＝(3a＋b)(a＋2b)。 【例3】 利用因式分解求值。 已知x＋y＝1，xy＝－，求x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2 的值。 解：原式＝x(x＋y)[(x－y)－(x＋y)]＝－2xy·(x＋y)。 当x＋y＝1，xy＝－时，原式＝－2××1＝1。 【变式】 若实数x满足x2－2x－1＝0，则2x3－7x2＋4x－2 025的值为__－2_028__。 【解析】 ∵x2－2x－1＝0， ∴x2－2x＝1， ∴2x3－7x2＋4x－2 025 ＝2x3－4x2－3x2＋4x－2 025 ＝2x(x2－2x)－3x2＋4x－2 025 ＝6x－3x2－2 025 ＝－3(x2－2x)－2 025 ＝－3－2 025 ＝－2 028。 【例4】 已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，求出A与B哪个大。 解：B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)·(a－3)。 ∵a＞2，∴a＋3＞0。 当2＜a＜3时，a－3＜0，∴A＞B； 当a＝3时，a－3＝0，∴A＝B； 当a＞3时，a－3＞0，∴A＜B。 【变式1】 已知P＝m－1，Q＝m2－m(m为任意实数)，则P，Q的大小关系(　C　) A．为P>Q B．为P＝Q C．为P