2024-2025学年河南省南阳一中高三（下）第十二次月考 数学试卷（2月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.若，，则( ) A. B. C. D. 3.若向量，满足，且，，则( ) A. B. C. D. 4.记为等比数列的前项和，若，，则( ) A. B. C. D. 5.在中，，，的面积为，则为( ) A. B. C. D. 6.已知的定义域为的单调函数，且，则( ) A. B. C. D. 7.已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为( ) A. B. C. D. 8.设双曲线的右焦点为，双曲线上的两点、关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设函数，则( ) A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的值域为 D. 在单调递增 10.设，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内任意一点，，分别表示直线，的斜率，则( ) A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得 11.柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同正八面体就是柏拉图实体的一种如图是一个棱长为的正八面体甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是( ) A. 该正八面体的外接球的体积为 B. 平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为 C. 甲能构成正三角形的概率为 D. 甲与乙均能构成正三角形的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，那么 _____． 13.若直线：与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率为_____． 14.若直线为曲线的一条切线，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 记为数列的前项和，为数列的前项和，若且． 证明：数列是等比数列； 若成立，求的最小值． 16.本小题分 如图，等腰直角的斜边为直角的直角边，是的中点，在上．将三角形沿翻折，分别连接，，，使得平面平面已知，． 证明：平面； 若，求二面角的余弦值． 17.本小题分 同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每局分，达到分时，比赛双方必须相差分，才能分出胜负；每场比赛采用“局胜制”即有一支球队先胜局即获胜，比赛结束；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以：或：取胜的球队积分，负队积分；以：取胜的球队积分，负队积分甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往局比赛成绩： 甲 乙 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立． 估计甲队每局获胜的概率； 如果甲、乙两队比赛场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望； 如果甲、乙两队约定比赛场，请比较两队积分相等的概率与的大小结论不要求证明． 18.本小题分 设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，、分别是椭圆的左右顶点． 求椭圆的方程； 动点、为椭圆上异于、的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点． 19.本小题分 将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是一个函数的图象，即函数的图象与直线至多有个交点，则称函数具有“旋转不变性”． 证明：函数，具有“旋转不变性”； 若函数具有“旋转不变性”，求的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.或 14. 15. 16.解：证明：过点做，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为是等腰直角三角形斜边的中点， 所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为， 所以， 因为 ... ...
