4.1 直线的方向向量与平面的法向量（课件 学案 练习，共3份） 北师大版（2019）选择性必修 第一册 第三章

4.1　直线的方向向量与平面的法向量 课标要求　1.能用向量语言表述直线和平面. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量. 3.会求直线的方向向量与平面的法向量. 【引入】 牌楼是中国古代一种传统建筑，最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形结构，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢 一、直线的方向向量与直线的向量表示 探究1 在空间中，如何用向量表示一个点 探究2 在空间中，怎样可以确定一条直线 【知识梳理】 1.设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的　　　　　　，与平行的任意非零向量a也是直线的　　　　　　.一条直线的方向向量有　　　　个. 2.直线的向量表示 已知M是直线l上的一点，非零向量a是直线l上的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得　　　　　　，反之，由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线l上，因此，我们把这个式子称为直线l的向量表示. 温馨提示　(1)空间中，一个向量若是直线l的方向向量，必须满足两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 例1 如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，|AB|=2|A1B1|，|B1D|=2|DC1|，|CE|=|EC1|，设=a，=b，=c，以{a，b，c}为空间向量的一组基，求直线AE，AD的一个方向向量. 思维升华　求直线AB的方向向量，就是找与平行的任意非零向量. (1)在AB上任取不同的两点，以这两点为起点和终点的向量即为直线AB的方向向量. (2)在AB的平行线上任取不同的两点，以这两点为起点，终点的向量即为直线的方向向量. 训练1 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:是直线GH的一个方向向量. 二、直线的向量表示的应用 例2 (链接教材P121例3)如图所示，O为空间内异于P，A，B的任意一点，且O在直线AB外，则P，A，B三点共线的充要条件是存在实数t，使得=(1-t). 思维升华　(1)本例是直线的向量表示的推论，以后可以直接应用. (2)P，A，B三点共线的两种充要条件 ①存在实数t，使得，即. ②存在有序实数对(x，y)，使得(其中x+y=1，O在直线AB外). 训练2 (1)(链接教材P122练习3)已知在空间直角坐标系O-xyz中，点A(4，1，3)，B(2，-5，1)，C为线段AB上一点，且3||，则点C的坐标为　　　　. (2)已知空间三点O(0，0，0)，A(-1，1，0)，B(0，1，1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为　　　　. 三、平面的法向量 探究3 给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地，给定一点和一条直线后，能否确定过此点和这条直线垂直的平面 探究4 空间中两条不同的直线a，b，若a∥b且a⊥α，则b与α的位置关系是什么 【知识梳理】 1.如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的　　　　，则　　　　　　. 2.设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任一点P，必有·n=0，把此式称为平面α的一个向量表示式. 3.设平面α内一点M(x0，y0，z0)，其法向量n=(A，B，C)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有·n=0，则平面α的方程为　　　　　　　　. 温馨提示　(1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. 例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=AP=1，AD=，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 思维升华　求平面的法向量首先要建立合适的空间直角坐标系，然后按下 ... ...