河北省保定市部分示范高中2025届高三下学期模拟考试数学试卷（含答案）

河北省保定市部分示范高中2025届高三下学期模拟考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知为虚数单位，则( ) A. B. C. D. 2.已知为坐标原点，圆，则( ) A. B. C. D. 3.已知向量，，则在上的投影向量的模为( ) A. B. C. D. 4.已知圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则该圆台的侧面积为( ) A. B. C. D. 5.已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为( ) A. B. C. D. 6.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则( ) A. B. C. D. 7.已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为( ) A. B. C. D. 8.已知，函数在区间上有且仅有两个零点，，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列不等式成立的有( ) A. B. C. D. 10.在正方体中，下列四个选项中正确的有( ) A. 直线平面 B. 每条棱所在直线与平面所成的角都相等 C. 平面平面 D. 直线平面 11.已知到点和的距离之积为定值的点的轨迹称为伯努利双纽线，若，曲线过坐标原点，点为曲线上一点，则下列说法正确的有( ) A. B. 曲线与轴有三个交点 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一组统计数据为，，，，，，，，则这组数据的分位数为 ． 13.由一个、两个和三个排列成一个六位数，则所有相同数字都不相邻的概率为 ． 14.已知集合，定义集合，若，记为集合中元素的个数，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数． 为的导函数，则当时，求的值 证明：有且仅有一条图象的切线过坐标原点 讨论函数的单调性． 16.本小题分 某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各名员工的绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 绩效分数达标情况 合计 未达标 达标 男 女 合计 经计算，所调查的男员工绩效分数的平均数为；女员工绩效分数的平均数为，求这人绩效分数的平均数． 根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关联？ 该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励千元，其他名次无奖励甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的概率为，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率为；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为，求甲在前两个月所得奖金总额单位：千元的分布列和数学期望． 附： 参考公式：，其中． 17.本小题分 如图，在圆锥中，，，，是底面圆上的四点，为直线与圆的另一交点，为母线上一点，且，． 证明：平面底面圆 为底面圆的劣弧上一点与点，均不重合，且平面与平面所成角的余弦值为，求的正弦值． 18.本小题分 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点为上的动点，的周长为． 求的标准方程． 延长线段，分别交于，两点，连接，并延长线段交于另一点，若直线和的斜率均存在，且分别为，，试判断是否为定值若是，求出该定值若不是，说明理由． 19.本小题分 已知数列的首项，当时，，数列满足，，数列和的所有项合在一起，按从小到大的顺序依次排列构成新数列 求，，的值 记为数列的前项和，求使得成立的的最小值 从数列的前项中每次随机抽取一项，有放回地抽取次，设这次抽取的项互不相同的概率为，证明：． 附：不等式，且的推广式均大于，且不全相等成立． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解： 时即． 证明：设切点。 由切线过原点，所以。 。解得唯一解。 所以过坐标原点有且仅有一条图象的切线。 当时，，． 当时，由解得 ... ...