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课件网) 题型三 与切线性质有关的证明 与计算 2025湖北数学 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交BC于点D，连接AD，已知∠CAD＝∠B. (1)求证：AD是⊙O的切线； (1)证明：如图，连接OD， ∵∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ADC＝90°， ∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB， ∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD＝∠ODB， ∴∠ODB＋∠ADC＝90°，∴∠ADO＝90°， ∵OD是☉O的半径，∴AD是☉O的切线； (2)若∠CAB＝60°，AO＝2，求劣弧的长． (2)解：∵∠CAB＝60°，∠ACB＝90°， ∴∠B＝30°，∴∠CAD＝30°，∴∠DAB＝30°， ∴在Rt△ADO中，OD＝AO，∴OD＝， ∵OD＝OB，∠B＝30°， ∴∠B＝∠ODB＝30°， ∴∠DOB＝120°， ∴劣弧的长为＝. ∠C＝90°，∠CAD＝∠B 2. 如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sin A＝. (1)求∠BED的大小； (1)解：如图，连接OB， ∵AB与☉O相切于点B，∴∠OBA＝∠OBF＝90°. ∵sin A＝，∴∠A＝30°， ∴∠AOB＝60°，∴∠BOD＝120°. ∵点E在上，∴∠BED＝∠BOD＝60°； (2)证明：如图，连接OF，由(1)得∠OBF＝90°，∠BOD＝120°. ∵OB＝3，BF＝3，∴tan∠BOF＝＝， ∴∠BOF＝60°，∴∠DOF＝60°. 在△BOF与△DOF中， ∴△BOF≌△DOF(SAS)，∴∠ODF＝∠OBF＝90°. ∵OD为☉O的半径，∴DF与☉O相切. (2)若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切． E是上不与B，D重合的点，sin A＝ (1)证明：∵AB是☉O的直径， ∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°－∠ABF. ∵直线l与☉O相切于点A， ∴∠BAD＝90°，∴∠CDB＝90°－∠ABF， ∴∠BAF＝∠CDB； 3. (2024陕西)如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连接EF，AF. (1)求证：∠BAF＝∠CDB； (2)解：如图，连接AE， ∵AC＝12，AD＝9，∴CD＝AC＋AD＝21， ∵AB是☉O的直径， ∴∠AEB＝90°，AB＝2r＝12，∴AE⊥BC，AC＝AB.∴AE＝BE. 在Rt△BAD中，BD＝＝15. ∵∠BAC＝∠BAD＝90°， ∴BE＝AE＝AB＝6. (2)若⊙O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长． 由(1)知∠BAF＝∠CDB， ∵∠BAF＝∠BEF， ∴∠BEF＝∠BDC， ∴△BEF∽△BDC， ∴＝，即＝， 解得EF＝. 4. 如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，连接CD，CE，且CD＝CE. (1)求证：OA＝OB； (1)证明：如图，连接OC， ∵AB与☉O相切于点C， ∴∠ACO＝∠BCO＝90°， ∵CD＝CE，∴＝， ∴∠AOC＝∠BOC， ∴∠A＝∠B，∴OA＝OB； (2)若AB＝4，OA＝4，求阴影部分的面积． CD＝CE (2)解：由(1)可知，△OAB是等腰三角形，OA＝OB＝4， ∴BC＝AB＝2，∴sin∠COB＝＝，∴∠COB＝60°， ∴∠B＝30°，∴OC＝OB＝2， ∴S扇形COE＝＝， S△OCB＝×2×2＝2， ∴S阴影＝2－. 5. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点O作OD⊥AB，连接DC并延长交AB的延长线于点E，∠D＝2∠A. (1)求证：DE为⊙O的切线； (1)证明：如图，连接OC， ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠BOC＝2∠OAC， ∵∠D＝2∠A，∴∠BOC＝∠D. ∵OD⊥AB，∴∠BOC＋∠COD＝90°， ∴∠D＋∠COD＝90°， ∴∠DCO＝90°，即OC⊥DE， ∵OC为☉O的半径，∴DE为☉O的切线； (2)若BE＝1，CE＝2，求tan E的值． (2)解：设☉O的半径为r，即OC＝OB＝r，则OE＝r＋1， 由(1)可得，OC⊥DE， ∴∠OCE＝90°， 在Rt△COE中，OC2＋CE2＝OE2， 即r2＋22＝(r＋1)2，解得r＝， ∴OC＝， ∴tan E＝＝. OD⊥AB，∠D＝2∠A 6. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，D是的中点，连接CD与AB交于点E，在AB的延长线上有一点F，连接CF，且CF＝EF. (1) ... ...
