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课件网) 题型五 二次函数性质综合题 2025湖北数学 解：(1)将B(3，0)代入y＝ax2－2ax－2，得9a－6a－2＝0，解得a＝， ∴抛物线的函数解析式为y＝x2－x－2， 直线BC的函数解析式为y＝x－2； 【解法提示】令x＝0，则y＝－2，∴C(0，－2)，设直线BC的函数解析式 几何画板动态演示 1 .如图，抛物线y＝ax2－2ax－2与x轴交于A，B(3，0)两点，与y轴交于点C，P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为m. (1)求抛物线的函数解析式，并直接写出直线BC的函数解析式； 为y＝kx＋b1(k≠0)，将B(3，0)，C(0，－2)代入得，，解得， ∴直线BC的函数解析式为y＝x－2. (2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E，若D，E，P三点中，有两个点恰好关于第三点对称，求m的值； (2)∵点P在x轴下方抛物线上，且横坐标为m， ∴P(m，m2－m－2)， ∴E(m，m－2)，D(m，0)， 当点D，P关于点E对称时，PE＝ED， ∴m－2－(m2－m－2)＝－m2＋2m＝2－m 即m2－4m＋3＝0，解得m＝3(舍去)或m＝1， 当点D，E关于点P对称时，DP＝EP， ∴－(m2－m－2)＝m2－m－2－(m－2)， 解得m＝－或m＝3(舍去). 综上所述，m的值为1或－； (3)若Q为y轴上点C下方的一点，当以CQ为直角边的Rt△CPQ与Rt△AOC相似时，求点Q的坐标. (3)令x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝3， ∴A(－1，0)， 由(1)得，C(0，－2)， ∴OA＝1，OC＝2， 如解图，分情况讨论：①当＝＝时， ∵∠CQ1P1＝90°，P1(m，m2－m－2)，∴Q1(0，m2－m－2)， 解图 ∴P1Q1＝m，CQ1＝－2－(m2－m－2)＝－m2＋m， ∴＝，解得m＝0(舍去)或m＝， 将m＝代入m2－m－2，得×()2－×－2＝－， ∴点Q1的坐标为(0，－)； ②当＝＝时，＝，解得m＝0(舍去)或m＝－1(舍去)； ③当＝＝时， ∵∠Q2CP2＝90°，∴CP2∥x轴， ∴点P2的纵坐标为－2，∴令m2－m－2＝－2，解得m＝0(舍去)或m ＝2，∴P2(2，－2)，∴CP2＝2，CQ2＝CP2＝1，∴OQ2＝3，∴点Q2坐标为(0，－3)； ④当＝＝时， ∵由③得CP2∥x轴，P2(2，－2)，CP2＝2， ∴CQ3＝2CP2＝4，∴Q3O＝6，∴点Q3坐标为(0，－6).综上所述，点Q的坐标为(0，－)或(0，－3)或(0，－6). 2. (2024孝感模拟节选)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC. (1)求a，b的值及直线BC的解析式； 解：(1)将点A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3； 几何画板动态演示 令x＝0，得y＝3， ∴C(0，3)， 设直线BC的解析式为y＝kx＋t(k≠0)， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋3； (2)如图①，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G.连接CP，CA，记△PCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求的最大值； (2)设P(m，－m2＋2m＋3)(0＜m＜3)，则G(m，－m＋3)， ∴PG＝－m2＋2m＋3＋m－3＝－m2＋3m. 如解图①，过A作AH⊥x轴，交直线BC于点H，则PF∥HA， 设H(－1，n)，将H(－1，n)代入y＝－x＋3，得n＝1＋3＝4， ∴H(－1，4)， ∴AH＝4， H 解图① ∴△PGE∽△AHE， ∴＝， ∴＝＝＝＝－(m－)2＋， ∵－＜0， ∴当m＝时，有最大值为； 解图① H (3)如图②，将抛物线位于x轴下方的部分不变，位于x轴上方的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围. (3)4＜n＜. 【解法提示】如解图②，将直线BC向下平移n个单位所得直线l的解析式为y＝－x＋3－n，当直线l过点A(－1，0)时，－1×(－1)＋3－n＝0，解得n＝4；将抛物线y＝－x2＋2x＋3位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形的解析式为y＝x2－2x－3(－1＜x＜3) ... ...
