2.1.1 两角和与差的余弦公式（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）必修第二册 第2章

2.1.1　两角和与差的余弦公式 课标要求　1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程.2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行求值、计算. 【引入】 同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器计算，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式. 一、两角差的余弦公式 探究1 已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标. _____ _____ _____ _____ 探究2 如图，设α＝∠xOP，β＝∠xOP′，如何借助所学的向量知识求cos(α－β)的值？ _____ _____ _____ 【知识梳理】 两角差的余弦公式 cos(α－β)＝_____，其中α，β∈R，简记为C(α－β). 温馨提示　(1)公式的结构特征 (2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合，如cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)·cos β＋sin(α＋β)·sin β. 例1 求下列各式的值： (1)cos 165°； (2)cos 105°＋sin 105°； (3). _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解. (2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解. (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解. 训练1 求下列三角函数式的值： (1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)； (2)cos 15°cos 105°－sin 15°sin 105°. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 二、两角和的余弦公式 探究3 观察cos(α－β)和cos(α＋β)两者之间的联系，你能发现什么？ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝_____，其中α，β∈R，简记为C(α＋β). 温馨提示　注意公式的展开形式，两角和与差的余弦公式展开可简记为“余余正正，符号相反”. 例2 (链接教材P69例3)已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos(α＋β)的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换. (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β； ②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β). 训练2 若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，求cos(θ＋φ)的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 三、给值求角 例3 已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　已知三角函数值求角的解题步骤 (1)求所求角的某种三角函数值(为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数). (2)结合三角函数值及角的范围求角. 训练3 已知cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α＜β，求α＋β的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.cos 20°等于(　　) A.cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10° B.cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10° C.sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30° D.sin 30°cos 1 ... ...