2.1.2 两角和与差的正弦公式（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）必修第二册 第2章

2.1.2　两角和与差的正弦公式 课标要求　1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数的求值、化简. 【引入】 同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽，为了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态，人们用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术，神奇的表演让观众叹为观止.在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习的两角差的余弦公式就是这样的“表演者”之一，利用它的变换可以解决许多三角变换问题，但仅仅这一个公式还很难满足我们的需要，比如遇到两角差的正弦、正切，两角和的正弦、正切的时候，该公式无法直接运用，今天我们就利用两角差的余弦公式的“变脸”，对公式进一步拓展. 一、两角和与差的正弦公式 探究1 如何借助公式sin α＝cos推导出sin(α－β)的公式？ _____ _____ _____ _____ 探究2 如何借助sin(α－β)的公式推导出sin(α＋β)的公式？ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 两角和与差的正弦公式 sin(α＋β)＝_____，其中α，β∈R，简记为S(α＋β)； sin(α－β)＝_____，其中α，β∈R，简记为S(α－β). 温馨提示　(1)两角和与差的正弦公式展开可简记为“正余余正，符号相同”. (2)公式的逆用一定要注意名称的顺序和角的顺序. 例1 (链接教材P70例4)求下列各式的值： (1)sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°； (2)sin 15°＋sin 75°. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　给角求值问题的解题策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，有时需对整体或局部变形. (2)一般途径是将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，解题时要逆用或变用公式. 训练1 (1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝_____； (2)＝_____. 二、给值求值 例2 (链接教材P71例6)已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　给值求值的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. (2)此类问题中角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围. 训练2 已知0<α<<β<π，sin α＝，sin(α＋β)＝，则sin β＝_____. 三、给值求角 例3 已知锐角α，β满足sin α＝，sin β＝，求α－β的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在第一、二或第三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在第一、四或第二、三象限，则选正弦函数等. 训练3 已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.sin 105°的值为(　　) A. B. C. D. 2.cos＋sin的值为(　　) A. B.－ C.－ D. 3.设0＜α＜β＜，sin α＝，cos(α－β)＝，则sin β的值为(　　) A. B. C. D. 4.sin 15°－cos 15°＝_____. 2.1.2　两角和与差的正弦公式 探究1　提示　sin(α－β)＝cos ＝cos ＝coscos β－sinsin β ＝sin αcos β－cos αsin β. 探究2　提示　用－β替换公式中的β即可. 知识梳理 sin ... ...