2.1.3 两角和与差的正切公式（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）必修第二册 第2章

2.1.3　两角和与差的正切公式 课标要求　1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 【引入】 同学们，上节课我们实现了两角和与差的正弦、余弦的展开与合并，今天我们将继续“变脸”，共同探究两角和与差的正切是否也能实现“变脸”. 一、两角和与差的正切公式 探究1 请同学们写出两角和与差的余弦公式、正弦公式. _____ _____ _____ 探究2 同角三角函数中的商数关系是什么？ _____ _____ _____ 探究3 你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.两角和的正切公式 tan(α＋β)＝，其中α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，简记为T(α＋β). 2.两角差的正切公式 tan(α－β)＝，其中α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)，简记为T(α－β). 温馨提示　公式的结构特征及符号特征 (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和； (2)公式的符号变化简记为：“分子同，分母反”. 例1 (链接教材P73例7)(1)tan 255°等于(　　) A.－2－ B.－2＋ C.2－ D.2＋ (2)化简等于(　　) A.－ B. C.3 D.1 _____ _____ _____ _____ 思维升华　利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式： T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换. (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用： 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan”“＝tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值. 训练1 化简求值： (1)； (2)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 二、给值求值 探究4 根据两角和与差的正切公式的特点以及上述练习，你能写出几种公式的变形形式吗？ _____ _____ _____ 例2 (链接教材P76T9)(1)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为(　　) A.－3 B.－1 C.1 D.3 (2)已知sin α＝，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为(　　) A.－ B. C.－ D. _____ _____ _____ _____ 思维升华　给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形建立与待求式间的联系以实现求值. (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值. 训练2 已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan的值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 三、给值求角 例3 (1)在△ABC中，tan A＝，tan B＝－2，则角C＝_____； (2)若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　利用公式T(α±β)求角的步骤 (1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值. (2)确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角. 训练3 已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝_____. 【课堂达标】 1.已知tan α＝2，则tan的值为(　　) A.3 B.－3 C. D.－ 2.已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α＝(　　) A. B. C.π D. 3.计算：＝_____. 4.(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝_____. 2.1.3　两角和与差的正切公 ... ...