3 导数的计算 同步练习 (原卷版+解析版)

§3　导数的计算 一、单项选择题 1．设函数f(x)＝x2，f′(x0)＝2，则x0＝(　B　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：∵f′(x)＝2x，∴f′(x0)＝2x0＝2，解得x0＝1.故选B. 2．(2024·四川成都七中高二月考)若函数f(x)＝tan x，则f′＋f＝(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为f′(x)＝，所以f′＋f＝＋tan＝3. 3．已知函数f(x)＝ln x，则 ＝(　B　) A．1 B． C． D．2 解析：因为f(x)＝ln x，所以f′(x)＝，所以 ＝f′(2)＝.故选B. 4．曲线y＝ln x在x＝1处的切线方程为(　D　) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y＝0 D．x－y－1＝0 解析：因为y＝ln x，所以y′＝，所以切线的斜率k＝1.又x＝1时，y＝0，所以切点坐标为(1，0)，所以切线方程为y－0＝1×(x－1)，即x－y－1＝0.故选D. 5．曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程为(　B　) A．x－y＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋3y－4＝0 D．x－3y＋2＝0 解析：因为y′＝()′＝x－，所以切线的斜率k＝，所以曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0. 6．过点P(2，8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为(　D　) A．12x－y－16＝0 B．3x－y＋2＝0 C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0 D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0 解析：设切点为M(x0，y0)，由y′＝3x2，得切线的斜率k＝3x.因为点M在曲线y＝x3上，所以y0＝x，所以切线方程为y－x＝3x·(x－x0).又点P(2，8)在切线上，所以8－x＝3x(2－x0)，即x－3x＋4＝0，所以x－2x－x＋4＝x(x0－2)－(x0＋2)(x0－2)＝(x0＋1)·(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2(说明该曲线过点P有两条切线，一条以点P为切点，一条不以点P为切点).当x0＝2时，k＝12，所求切线方程为y－8＝12(x－2)，即12x－y－16＝0；当x0＝－1时，k＝3，所求切线方程为y－8＝3(x－2)，即3x－y＋2＝0.故过点P的切线方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0. 二、多项选择题 7．下列结论中正确的有(　CD　) A．′＝cos B．(x)′＝x C．(log3x)′＝ D．(2x)′＝2x ln 2 解析：对于A，′＝′＝0；对于B，(x)′＝x；对于C，(log3x)′＝；对于D，(2x)′＝2x ln 2. 8．(2024·山东青岛高二期中)下列曲线存在垂直于y轴的切线的是(　BC　) A．y＝f(x)＝ex B．y＝f(x)＝cos x C．y＝f(x)＝sin x D．y＝f(x)＝ 解析：垂直于y轴的切线的斜率为0. A 令f′(x)＝ex＝0，无解． × B 令f′(x)＝－sin x＝0，得x＝kπ(k∈Z). √ C 令f′(x)＝cos x＝0，得x＝kπ＋(k∈Z). √ D 令f′(x)＝－＝0，无解． × 三、填空题 9．若f(x)＝，则f′(1)＝． 解析：f(x)＝＝x，则f′(x)＝x－，所以f′(1)＝. 10．函数y＝f(x)＝在x＝2处的导数为－1. 解析：方法一　Δy＝－＝－1＝－，则＝－，所以f′(2)＝ ＝－ ＝－1. 方法二　Δy＝－＝－，则＝－， 所以f′(x)＝ ＝－ ＝－. 故f′(2)＝－＝－1. 11．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x．若实数m满足f′(m)－g′(m)＝1，则实数m的值为1． 解析：因为f′(x)＝2x，g′(x)＝(x>0)，所以f′(m)－g′(m)＝2m－＝1(m>0)，解得m＝1. 四、解答题 12．(1)分别求曲线y＝f(x)＝sin x在点A，B(π，0)处的切线方程． (2)曲线y＝f(x)＝cos x在哪些点处的切线的斜率为1？在哪些点处的切线平行于x轴？ 解：(1)因为f(x)＝sin x，所以f′(x)＝cos x，所以f′＝cos ＝0，f′(π)＝cos π＝－1，所以曲线y＝f(x)＝sin x在点A处的切线方程为y＝1；曲线y＝f(x)＝sin x在点B(π，0)处的切线方程为y＝－1(x－π)，即y＝－x＋π. (2)因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x，令f′(x)＝－sin x＝1，解得x＝－＋2kπ，k∈Z，此时cos (－＋2kπ)＝0，k∈Z，所以曲线y＝f(x)＝cos x在点(－＋2kπ，0)，k∈Z处的切线斜率为1； 令f′(x)＝－sin x＝0，x＝2kπ或x＝π＋2kπ，k∈Z，当x＝2kπ，k∈Z时，cos (2kπ) ... ...