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课件网) 题型六 几何探究题 2025湖北数学 1. 如图，在矩形纸片ABCD中，E，F分别为AD，BC上的一个动点，连接EF，将矩形纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点H，G. (1)如图①，若点G落在AD边上，判断△EFG的形状，并说明理由； 类型一 与折叠有关的探究(2024省卷23题) 解：(1)△EFG是等腰三角形，理由如下： 由折叠的性质，得∠GFE＝∠BFE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， 几何画板动态演示 ∴∠DEF＝∠BFE， ∴∠DEF＝∠GFE， ∴GE＝GF， ∴△EFG是等腰三角形； (2)如图②，若点G落在对角线BD上，当AB与BC满足怎样的数量关系时，使得HG与AC始终平行； (2)BC＝AB， 如解，记AC与BD交于点O，由折叠的性质， 得BF＝GF，∠FGH＝∠ABC＝90°， ∴∠FGB＝∠FBG，∠HGO＋∠FGB＝90°， ∠ABO＋∠FBG＝90°， ∴∠HGO＝∠ABO. 又∵HG∥AC， O ∴∠HGO＝∠AOB＝∠ABO， ∴AB＝AO， ∵AC，BD为矩形ABCD的两条对角线， ∴AO＝OB， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠ABO＝∠AOB＝∠OAB＝60°，∴BC＝AB·tan∠OAB＝AB； ∴当BC＝AB时，HG与AC始终平行； O (3)∵点E为AD的中点， ∴点H在以点E为圆心，EA长为半径的圆弧上运动， 如解图②，以点E为圆心，AE长为半径作，连接AC，分别过点H，E作HP⊥AC，EQ⊥AC，垂足分别为P，Q， (3)如图③，若点E为AD的中点，此时点G落在矩形纸片的外部，连接AH，HC，当AB＝4，BC＝6时，求四边形ABCH面积的最大值. 解图② ∴当H，E，Q三点共线时，HP最大，最大值为HE＋EQ的值， ∵点E为AD的中点，∴EH＝AE＝AD＝3. ∵∠EAQ＝∠CAD，∠AQE＝∠ADC＝90°， ∵S四边形ABCH＝S△ABC＋S△AHC＝AB·BC＋AC·HP， ∴要使四边形ABCH的面积最大，只需HP的长度最大. ∵HP≤HE＋EQ， 解图② ∴△AEQ∽△ACD，∴＝. ∵AC＝＝＝2， ∴＝，∴EQ＝，∴HP最大＝HE＋EQ＝3＋， ∴S四边形ABCH最大＝AB·BC＋AC·HP最大＝×4×6＋×2×(3＋)＝18 ＋3. 解图② 2. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，E是边AB上一点，H是边CD上一点，连接EH，将四边形AEHD沿EH所在直线折叠，点A和点D的对应点分别为点F和点G. (1)如图①，当点F落在BC边上时，延长EF至点M，连接GM，求证：∠MFG＝60°； (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°， ∴AD∥BC， ∴∠BAD＝180°－∠B＝120°. 由折叠的性质得∠EFG＝∠EAD＝120°， ∴∠MFG＝180°－∠EFG＝60°； (2)当GF过点C时. ①如图②，若CF＝2，求DH的长； (2)①解：如解图①，过点H作HK⊥CG于点K. ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°， ∴CD＝AB＝6，∠D＝60°， 由折叠的性质得FG＝AD＝6，GH＝DH， ∠G＝∠D＝60°， 解图① 设GK＝t，则HK＝t，DH＝GH＝2t，CK＝GF－CF－GK＝4－t. ∴CH＝CD－DH＝6－2t. 在Rt△CKH中，CH2＝CK2＋HK2， ∴(6－2t)2＝(4－t)2＋(t)2，解得t＝， ∴DH＝2t＝； 解图① ②如图③，若EF⊥AB，求CG的长. ②解：如解图②，延长AB，交GF的延长线于点Q. ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠A＝120°. 由折叠的性质得∠EFG＝∠A＝120°，FG＝AD＝6，EF＝AE， ∴∠EFQ＝180°－∠EFG＝60°. ∵EF⊥AB， ∴∠Q＝90°－∠EFQ＝30°， ∴∠BCQ＝∠ABC－∠Q＝30°， 解图② ∴∠Q＝∠BCQ，EQ＝EF， ∴BQ＝BC＝6. 设BE＝m，则EQ＝BQ＋BE＝6＋m，EF＝AE＝AB－BE＝6－m， ∴6＋m＝(6－m)，解得m＝12－6， ∴EF＝AE＝6－m＝6－6， ∴QF＝2EF＝12－12. 过点B作BL⊥CQ于点L，则CL＝BC·cos 30°＝3， ∴CQ＝2CL＝6， ∴CF＝CQ－QF＝12－6，∴CG＝FG－CF＝6－6. 解图② 3. (2024咸宁模拟)综合探究：在△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC绕点A逆时针旋转适当的角度得到△ADE，连接BD，CE，BD的延长线交CE于点M. (1)如图①，当点D落 ... ...
