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课件网) 题型十 反比例函数综合题 2025湖北数学 类型一 反比例函数与一次函数综合 1. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象在第一、三象限分别交于A(1，4)，B两点，与y轴交于点C(0，2)． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； 解：(1)∵点A(1，4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上， ∴k＝1×4＝4，∴反比例函数的解析式为y＝. ∵点A(1，4)，C(0，2)在一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象上， ∴，解得，∴一次函数的解析式y＝2x＋2； (2)连接BO，在x轴正半轴上有一点M，要使CM＝2OB，求出点M的坐标． A(1，4)，C(0，2) (2)设点M的坐标为(m，0)， ∵C(0，2)，∴CM2＝m2＋4， 令＝2x＋2，解得x1＝1，x2＝－2， ∴B(－2，－2)，∴OB2＝8， ∵CM＝2OB，∴CM2＝4OB2，∴m2＋4＝4×8＝32， 解得m＝±2， ∵点M在x轴的正半轴上，∴m＞0，∴M(2，0). 2. 如图，过原点的直线y＝kx(k>0)分别与函数y＝(x>0)和y＝(x<0)的图象交于A，B两点． (1)若A(1，m)，求点B的坐标； 解：(1)∵点A的坐标为(1，m)且点A在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝1，∴A(1，1)， 将A(1，1)代入y＝kx，可得k＝1， ∴直线AB的函数解析式为y＝x， ∵点B在函数y＝(x＜0)的图象上，联立 解得x1＝－2，x2＝2(舍去)，∴点B的坐标是(－2，－2)； (2)过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两平行线交于点C.当直线y＝kx(k＞0)中k取不同的值时，△ABC的面积是否变化？若不变，请求出△ABC的面积；若变化，请探究△ABC面积的变化规律． (2)△ABC的面积不变，设A(a，)(a＞0). ∵点A在直线y＝kx(k＞0)上，将点A(a，)代入y＝kx，得k＝， ∴直线AB的函数解析式为y＝x. ∵y＝x的图象与y＝的图象相交于点B， ∴x＝，解得x＝－2a(正值已舍去)， ∴点B的横坐标为－2a. ∵点B在函数y＝(x＜0)的图象上， ∴点B的坐标为(－2a，－)， ∴BC＝3a，AC＝， ∴S△ABC＝BC·AC＝·3a·＝. 3. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A(2，6)，B(3，m)两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D. (1)求反比例函数的解析式及m的值； 解：(1)设反比例函数的解析式为y＝(k≠0)， 将点A(2，6)代入，得k＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝， 将B(3，m)代入y＝，得m＝4， ∴m的值为4； (2)请判断线段AD和线段BC的数量关系，并说明理由． A(2，6)，B(3，m) (2)AD＝BC，理由如下： 由(1)知，B(3，4)，如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，∴E(0，6)，F(3，0)， 设一次函数的解析式为y＝ax＋b(a≠0)，将点A(2，6)，B(3，4)分别代入一次函数的解析式中， 得解得 ∴一次函数的解析式为y＝－2x＋10. E F ∟ ∟ 令y＝0，则－2x＋10＝0，解得x＝5，∴C(5，0)， 令x＝0，则y＝10，∴D(0，10)， ∴AE＝xA－xE＝2，DE＝yD－yE＝4，BF＝yB－yF＝4，CF＝xC－xF＝2， ∴在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD＝＝＝2， 在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC＝＝＝2， ∴AD＝BC. E F ∟ ∟ 4. 如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(1，2)，与x轴交于点B. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； 解：(1)将(1，2)代入y＝x＋b中，得＋b＝2，解得b＝， ∴一次函数的解析式为y＝x＋， 将(1，2)代入y＝中，得2＝，解得k＝2， ∴反比例函数的解析式为y＝； (2)以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别与x轴，一次函数y＝x＋b的图象交于C，D两点，再分别以C，D为圆心，大于CD长为半径画弧交于点E，作射线BE交反比例函数图象于点F，求点F的坐标． A(1，2) (2)由作图痕迹可知BF平分∠ABC， 如图，设一次函数的图象与y轴交于点G，过点F作FH⊥x轴于点H， 将x＝0代入y＝x＋中，得y＝，∴G(0，)， ∴OG＝， 将 ... ...
