3.3.1 复数的几何意义及复数的模与共轭复数（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）必修第二册 第3章

3.3.1　复数的几何意义及复数的模与共轭复数 课标要求　理解复数的代数表示及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念. 【引入】 18世纪，瑞士人阿甘达(J.Argand，1768—1822)给出复数的一个几何解释，他注意到负数是正数的一个扩充，它是将方向和大小结合起来得出的，他的思路是：能否利用增添某种新的概念来扩充实数系.在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效.他不仅将a＋bi表示为复平面上的一点(a，b)，而且阐述了复数的几何加法和乘法.使人们对复数不再有种神秘的印象.同学们，你们想知道复数的几何意义是什么吗？ 一、复数的几何意义 探究1 有序实数对是和坐标平面上的点一一对应的，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ _____ _____ _____ 探究2 能用平面向量表示复数吗？ _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.复平面： 与全体复数建立一一对应关系的平面叫作_____，x轴叫作_____，y轴叫作_____.实轴上的点都表示_____.除_____外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 例1 (链接教材P115T9)(1)向量1对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，则1＋2对应的复数是(　　) A.－10＋8i B.10－8i C.0 D.10＋8i (2)(链接教材P114习题T1、T6)实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i. ①对应的点在x轴上方； ②对应的点在直线x＋y＋4＝0上. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　1.利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据. (2)列出方程：此类问题可根据复数的实部与虚部应满足的条件列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 2.复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 二、复数的模 【知识梳理】 对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，我们将它在复平面上所对应的向量的模_____称为复数z的模，也称为z的绝对值，记作_____.写成公式，即|a＋bi|＝，|z|＝表示点(a，b)到原点的距离. 温馨提示　(1)复数的模的几何意义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|表示复数z在复平面内对应的点Z(a，b)到原点的距离.类比向量的模可推广：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离. (2)复数的模、复数在复平面内对应的点到原点的距离、复数所对应向量的模三者是相等的. 例2 (1)已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|等于(　　) A.2 B.2 C.4 D. (2)(链接教材P142例2)设z∈C，且z在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形. ①|z|＝3；②1≤|z|≤2. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 训练1 若复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应点Z，则|z|＝时，a＝_____；此时Z与点(1，2)的距离是_____. 三、共轭复数 【知识梳理】 (1)对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，如果保持它的实部a不变，将虚部b变成它的相反数－b，得到的复数_____称为原复数z的共轭复数，记为.即＝a－bi.反过来也有＝a＋bi，因此＝z. (2)复平面上两点P，Q关于x轴对称 它们所对应的复数相互_____. (3)共轭复数z与的积是一个实数，并且等于这个复数的模 ... ...