2024-2025学年福建省厦门一中高二（下）月考数学试卷（3月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数，当自变量由增加到时，函数的平均变化率为( ) A. B. C. D. 2.下列求导运算正确的是( ) A. B. C. D. 3.曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 4.若，则的单调递增区间为( ) A. B. C. D. 5.设函数，若的极小值为，则( ) A. B. C. D. 6.已知抛物线：的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则( ) A. B. C. D. 7.已知正数，，满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 8.已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数，则( ) A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 直线是曲线的切线 D. 若在区间上的最大值为 10.已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是( ) A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 11.设计一个实用的门把手，其造型可以看作图中的曲线：的一部分，则( ) A. 点在上 B. 将在轴上方的部分看作函数的图象，则是的极小值点 C. 在点处的切线与的另一个交点的横、纵坐标均为有理数 D. 时，曲线上任意一点到坐标原点的距离均大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在等差数列中，已知，，则 _____． 13.若点是曲线上任一点，则点到直线的最小距离是_____． 14.已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列． 求数列的通项公式； 设数列满足，求数列的前项和． 16.本小题分 已知函数． 若，求在上的最值； 讨论函数的单调性． 17.本小题分 已知函数． Ⅰ求曲线在处的切线方程； Ⅱ设，求函数的最小值； Ⅲ若，求实数的值． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，与底面所成的角为，为的中点． 求证：平面； 若，为的内心，求直线与平面所成角的正弦值． 19.本小题分 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数的图象，我们称这个函数为“双曲余弦函数”，记为，把称为“双曲正弦函数”，记，易知． 求证：当时，；； 求证：若，，则． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：因为，，成等比数列，所以， 设等差数列的公差为，所以， 解得， 所以． 因为， 所以 ． 16.解：当时，，， 当，，，的变化情况如下表所示， 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间的最大值为，最小值为． ， 令，得或， 当，即时，，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当，即，此时恒成立，所以函数的单调递增区间是，无减区间； 当，即时，，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 综上可知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时，函数的单调递增区间是，无减区间； 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是． 17.解：Ⅰ， 曲线在处的切线的斜率． 又因为，所以切点为． 曲线在处的切线方程为． Ⅱ设， ， 当变化时，和的变化如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，． Ⅲ若，则，不合题意； 若，设， 由Ⅱ知，， 所以在上单调递增． 又，所以当时，，，，； 当时，，，，， 所以符合题意． 综上所述． 18.证明：因为 ... ...
