2024-2025学年山东省实验中学高一（下）段考数学试卷（3月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.如图，四边形中，，则必有( ) A. B. C. D. 3.已知，与同向的单位向量为，，，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为( ) A. B. C. D. 4.已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为( ) A. B. C. D. 5.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6.已知向量，满足，且，则( ) A. B. C. D. 7.如图扇形所在圆的圆心角大小为是扇形内部包括边界任意一点，若，那么的最大值是( ) A. B. C. D. 8.在锐角中，若，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量，，则下列说法正确的是( ) A. B. 与的夹角为 C. 若，则 D. 存在，使得 10.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，则( ) A. B. C. D. 11.已知三角形满足，，则下列结论正确的是( ) A. 若点为的重心，则 B. 若点为的外心，则 C. 若点为的垂心，则 D. 若点为的内心，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的外接圆面积为_____． 13.在中，，，，，是边上的两个动点，且，则的最大值为_____． 14.如图，在中，已知，，，点是边的中点，且，直线与相交于点，则 _____． 四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数，． 当取何值时，为纯虚数？ 当时，求的值． 16.本小题分 已知向量． 求； 设的夹角为，求的值； 若向量与互相垂直，求的值． 17.本小题分 已知，，分别是的内角，，的对边，且． 求； 若，的面积为，求的周长． 18.本小题分 如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点． 用和表示； 求； 设，求的取值范围． 19.本小题分 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点在费马问题中所求的点称为费马点已知，，分别是三个内角，，的对边，且，点为的费马点． 求角； 若，求的值； 若，求的取值范围． 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：为纯虚数，，． 当时，， ， ． 16.解：因为， 所以； 的夹角为， 则； 向量与互相垂直， 则， 又，， 则， 解得． 17. 18.解：依题意， ， ； 因交于，由知， 因为，，共线，所以，则， 所以，所以，即； 因是线段上动点，则令， ， 由已知， 又不共线，则有，得， 因为， 所以，且在上递增， 所以，故的取值范围是． 19.解， ， ， ， 又，， ，是三角形内角，， ，， ，又，， 设， ，三角形的三个角均小于， 根据题意可得， 又， ， ， ． 由， ， ， 由余弦定理可得， 同理可得，， 相加得， 又，，所以， ，，，， 所以，又， 故∽，所以， 故，即， ， ，当且仅当时等号成立， 又，所以， ， 令，则，所以， 由于函数均为上的单调递增函数． 为上的单调递增函数， ，进而． 即的取值范围是． 第1页，共1页 ... ...
