2024-2025学年上海师大附属外国语中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年上海师大附属外国语中学高一（下）月考 数学试卷（3月份） 一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若为第一象限角，则为( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一象限角或第三象限角 D. 第二象限角或第四象限角 2.已知为锐角的内角，则“”是“”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 充要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3.在中，，，，若满足条件的有两个，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.设集合，则集合的元素个数为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，共54分。 5.的角属于第_____象限． 6.已知在角的终边上，则 _____． 7.已知扇形圆心角，所对的弧长，则该扇形面积为_____． 8.已知，则_____． 9.若是第三象限角，且，则等于_____． 10.在中，，其面积为，则边 _____． 11.若，则_____． 12.的值为_____． 13.若，则_____． 14.如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，若，则的值为_____． 15.已知的内角，，的对边分别为，，若，则的最小值为_____． 16.在中，若，，三点分别在边，，上均不在端点上，则，，的外接圆交于一点，称为密克点在梯形中，，，为的中点，动点在边上不包含端点，与的外接圆交于点异于点，则的最小值为_____． 三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知． 求的值； 计算的值用反三角表示 18.本小题分 如图，为了测量山顶和山顶之间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一铅垂平面内飞机从点到点路程为，途中在点观测到，处的俯角分别为，，在点观测到，处的俯角分别为，． 求的面积用字母表示； 若，，，，，求，之间的距离． 19.本小题分 已知条件：；；． 在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在中，角，，，满足：_____注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 求角的大小； 若为锐角三角形，求的取值范围． 20.本小题分 在平面直角坐标系中，，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆圆心在坐标原点于，两点． 已知点，将绕原点顺时针旋转到，求点的坐标； 若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； 若，两点的纵坐标分别为正数，，且，求的最大值． 21.本小题分 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”． 若集合，，求集合相对的“余弦方差”； 求证：集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值； 若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5.一 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.解：根据题意，可得， 由正弦定理，得， 所以的面积； 由的结论，得， 在中，，， 在中，，由余弦定理得， 可得，解得， 综上所述，、之间的距离等于． 19. 20.解：点，将绕原点顺时针旋转到， 设，，所以， 可得， ， 的坐标为 角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于， ，且，求得，则，， 则． 角和角一个在第一象限，另一个在第二象限， 不妨假设在第一象限，则在第二象限， 根据题意可得、，且，， ，， ， 即 ， 平方可得，，当且仅当时，取等号． ，当且仅当时，取等号， 故当时，取得最大值为． 21.解：当集合时，集合相对的“余弦方差”； 证明：当集合时， 集合相对于常数的“余弦方差”， ， 此时“余弦方差”是一个常数，且常数为； 解：当集合时， 集合相对于任何常数的“余弦方差”， ， 要使上式对任何常数是一个常数，则且， 所以，所以， 又，，解得或． 第1页，共1页 ... ...