2024-2025学年河南省实验中学高一（下）月考数学试卷（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，，则( ) A. B. C. D. 2.已知，，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 3.已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 4.在三角形中，、分别在边、上，且，，在边上不包含端点若，则的最小值是( ) A. B. C. D. 5.在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.已知的内角，，所对的边分别为，，，面积为，若，则的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 7.如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为若，山坡对于地平面的坡度为，则等于( ) A. B. C. D. 8.在中，角，，所对的边分别为，，，，若表示的面积，则的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 10.已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是( ) A. 若，，则动点的轨迹经过的内心 B. 若为平面内任意一点，，则点为的重心 C. 若为的垂心，，则 D. 若为锐角的外心，且，则 11.如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点( ) A. B. 向量与共线 C. ：：：： D. 若，则最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在中，已知，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是_____． 13.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，若的中线，且，则的面积为_____． 14.在中，，，，在边上，延长到，使得，若为常数，则的长度是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，，是同一平面内的三个向量，其中． Ⅰ若，且，求； Ⅱ若，且与垂直，求实数的值 16.本小题分 已知中，是直角，，点是的中点，为上一点． 设，，当，请用，来表示，． 当时，判断是否垂直若成立，给出证明，若不成立，说明理由． 17.本小题分 设向量，，． 求的单调递减区间； 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积． 18.本小题分 在中，内角，，的对边分别是，，，，． 求角； 若，求边上的角平分线长； 若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 19.本小题分 在中，角，，所对的边分别是，，，． 求角的大小； 若，且，边上的两条中线，相交于点，求的余弦值； 若为锐角三角形，且，记的外心和垂心分别为，，连接的直线与线段，都相交，求证：线段的长度为． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：Ⅰ； ； ； ； ； Ⅱ，； 与垂直； ； 解得． 16.解：由题意可得，， 因为， 所以， 故； 与不垂直．证明如下： 由，可得， 所以， ，， 又因为， 所以， 则， 所以与不垂直． 17. 18.解：因为， 由正弦定理得： 因为， 所以， 又，所以，所以， 又，所以． 因为，，所以由余弦定理得， 又，解得， 由，得， 即，则，所以． 因为为锐角三角形，所以，解得， 因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 因为，所以， 所以，所以 所以 所以，即边上的中线的取值范围为． 19.解：由及正弦定理， 可得， 即， 由，可得， 故， 由于，故，所以， 由于，故； 由余弦定理， 可得，解得负值舍去， 因为即为向量与的夹角， 设，，则， 因为，， 所以，， 故，， 所以 ， 故； 先证明：设的外心为三角形外接圆的圆心， 以线段 ... ...
