2.1.2 基本不等式（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）必修第一册

2.1.2　基本不等式 课标要求　1.了解基本不等式的证明过程. 2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题. 【引入】 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！ 一、基本不等式的证明与理解 探究1 如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究2 现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3 探究2中得到的结论是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【知识梳理】 1.定理 对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥2ab，当且仅当_____时等号成立. 2.推论 对任意正数a，b，_____，当且仅当a＝b时等号成立.一般地，对于正数a，b，我们把_____称为a，b的算术平均数，_____称为a，b的几何平均数. 把不等式≥(a>0，b>0)称为基本不等式. 温馨提示　基本不等式≥的条件是a，b都是正数，取等号的条件是a＝b，当a<0，b<0时，则有≤－. 例1 (多选)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中成立的是(　　) A.4a2＋b2≥4ab B.a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)基本不等式成立的条件是a，b都是正数. (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝ a＝b. 训练1 已知a>b>c，则与的大小关系是_____. 二、用基本不等式证明不等式 例2 已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：≥8. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ... ...