第2章 培优点 不等式恒成立、能成立问题（课件+学案，共2份）湘教版（2019）必修第一册

(课件网) 第2章 2.3　一元二次不等式 培优点 不等式恒成立、能成立问题 课时精练 一、在R上的恒成立问题 二、在给定区间上的恒成立问题 三、解决简单的能成立问题 课堂达标 内容索引 在R上的恒成立问题 一 不等式的恒成立问题通常要看谁是主元，从而确定不等式的形式，可以利用一次函数或者二次函数的图象列出相应的不等式进行求解. 例1 已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围. 当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意. 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)， 由y<0恒成立， 得其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点. 综上，实数k的取值范围是{k|－1ymin或m0有解，则实数m的取值范围为_____. {m|m>－5} 记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(10或2m＋8>0，解得m>－5. 【针对训练】 1.若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是 √ 当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意； 2.若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立，则实数a的取值范围是_____. (－∞，0) ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， ∴2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2， ∴m的取值范围为{m|m≥－2}.一、在R上的恒成立问题 不等式的恒成立问题通常要看谁是主元，从而确定不等式的形式，可以利用一次函数或者二次函数的图象列出相应的不等式进行求解. 例1 已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二、在给定区间上的恒成立问题 有关给定区间上的恒成立问题，通常处理方法有两种： (1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式. (2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解. 例2 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ... ...