2024-2025学年陕西省西安市西光中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025 学年陕西省西安市西光中学高一（下）月考数学试卷（3 月 份） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数 = 1 + 2 ( 为虚数单位)的共轭复数为 ，则 =( ) A. 2 B. 2 + C. 2 D. 2 + 2.在△ 中， = 2，3 = 2 ， = 60°，则 =( ) A. √ 5 B. √ 6 C. √ 7 D. 2√ 2 3.在长方形 中，已知 = 8， = 5， = 3 ，则 的值是( ) A. 13 B. 22 C. 13 D. 22 4.已知 是圆 的直径，点 是圆 上异于 、 的点，且| | = √ 3| |，则向量 在向量 上的投影向 量为( ) 1 3 √ 3 1 A. B. C. D. 4 4 4 2 5.△ 中， ， ， 分别是 ， ， 所对的边，若 = ，则此三角形是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 1+ 6.复数 = ( )2025的虚部为( ) 1 A. 1 B. C. 1 D. 7.如图，某景区欲在两山顶 ， 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高 = 2 ， = 6 ，在水平面上 处测得山顶 的仰角为30°( 、 、 在同一 水平面上)，山顶 的仰角为60°，∠ = 150°，则两山顶 ， 之间的距离为( ) A. 4√ 3 B. 4√ 7 C. 4√ 2 D. 4√ 5 8.如图，△ 中，∠ = ， = 2， 4 = √ 6 + √ 2.在△ 所在的平 面内，有一个边长为1的正方形 绕点 按逆时针方向旋转(不少于1周)， 则 的取值范围是( ) A. [ 3,5] B. [ 4,6] 第 1 页，共 7 页 C. [ 5,9] D. [ 3,4] 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设点 是平行四边形 的对角线的交点，则下列结论正确的是( ) A. = B. | | = | | C. = D. 与 共线 10.已知单位向量 , , 共面，则下列说法中正确的是( ) A. 若| + | = | |，则 // B. 若| + | = | |，则 ⊥ C. 若 + + = 0 ，则 , = 3 D. 若 + 2 + = 0 ，则 , = 3 11.已知向量 = (√ 2, 1)， = ( , )(0 ≤ ≤ )，则下列命题正确的是( ) √ 3 A. 若 ⊥ ，则 = 3 1 B. 若 在 上的投影向量的模为 ，则向量 与 的夹角为 2 3 C. 存在 ，使得| + | = | | | | D. 的最大值为√ 3 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知复数 = 1 2 ，其中 为虚数单位，若 ， 2在夏平面上对应的点分别为 ， ，则线段 长度为 _____． 13.已知 与 为互相垂直的单位向量， = 2 + 3 ， = + 2 ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范 围是_____． 14.已知锐角△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 = 2， + 2 = ， 若△ 的边 的中点为 ，则中线 的长度的取值范围为_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题12分) 计算下列各题． (1)(1 )(1 + ) + (2 + )2； (2)(2 )( 1 + 5 )(3 4 ) + 2 ． 第 2 页，共 7 页 16.(本小题12分) 已知向量 = (1,1), = ( 1,0)． (1)若( + )//(2 + )，求实数 ； (2)若向量 + 与2 + 所成角为锐角，求实数 的范围． 17.(本小题12分) 在△ 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = √ 2， = 4， cos + = 0． (1)求 ． 3 (2)已知点 在线段 上，且∠ = ，求 长． 4 18.(本小题12分) 在路边安装路灯，灯柱 与地面垂直(满足∠ = 90°)，灯杆 与灯柱 所在平面与道路垂直，且∠ = 120°，路灯 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ = 60°，路宽 = 24 .设灯柱 高 = ( )，∠ = (30° ≤ ≤ 45°)． (1)当 = 30°时，求四边形 的面积； (2)求灯柱的高 (用 表示)； (3)若灯杆 与灯柱 所用材料相同，记此用料长度和为 ，求 关于的函数表达式，并求出 的最小值． 19.(本小题12分) 如图，在△ 中， = ， = 2 ，点 为 和 的交点，设 = ， = ． (1)设 = + ，求 ， 的值； (2)若| | = 2，| | = 3， , = ，求 3 △ ； | | (3)若 在 上， ⊥ ... ...