2025年高考三轮冲刺专题训练数列综合练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年高考三轮冲刺专题训练数列综合练习 1．数列{an}的前n项和为Sn＝n（n+3）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令，求数列{bn}的前n项和Tn． 2．设公比为正的等比数列{an}前n项和为Sn，S3＝7a1，且a1，a3，20+a2成等差数列． （1）求{an}的通项； （2）若数列{bn}满足bn＝bn+1+bnbn+1log2an，b1＝1，求数列{bn}的前n项和Tn． 3．在数列{an}中，记Δan＝an+1﹣an，若{Δan}为等差数列，则称{an}为二阶等差数列． （1）若an＝2n2﹣n+3，判断{an}是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列{an}满足a1＝1，a2＝2，a3＝4． ①求数列{an}的通项公式； ②若bn，记{bn}的前n项和为Sn，证明：1． 4．数列{an}中，，． （1）求a3的值； （2）令bn＝an+1﹣an，求数列{bn}的通项公式； （3）求数列{nan}的前n项和Sn． 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝60，a3+3a5＝48．当n∈N*时，3n﹣1． （1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）（ⅰ）若，求数列{cn}的前n项和Tn； （ⅱ）根据（ⅰ）试求出Tn的最小值． 6．已知数列{an}，{bn}分别是等比数列和等差数列，Sn是数列{an}的前n项和．若a1＝1，S2＝b1＝3，a3b4＝36． （1）求{an}和{bn}及Sn； （2）设{cn}是等比数列，对任意的k∈N*，当ak＜n＜ak+1时，有ck＜bn＜ck+1恒成立． （i）当k＞2时，求证：2k﹣1＜ck＜2k+1； （ii）设数列dn求数列{dn}的前Sn项和Tn． 7．已知Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an﹣4n+2． （1）求证：数列{an+4}为等比数列； （2）令，若，求满足条件的最大整数n． 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，，Sn＝2an+1﹣3． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Tn； （3）若cn，求使cn取得最大值时的n的值． 9．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{an}为递增数列，且满足an∈N*，若bn，且bn∈N*，则称{bn}为{an}的“伴随数列”． （1）数列4，10，16，19是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由； （2）若{bn}为{an}的“伴随数列”，证明：b1＞b2＞…＞bm； （3）已知数列{an}存在“伴随数列{bn}，且a1＝1，am＝2025，求m的最大值． 10．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3＝9，． （1）证明：{an}为等差数列． （2）求m的值和{an}的通项公式． （3）若数列{bn}满足，其前n项和为Tn，证明：Tn＜4． 11．已知数列{an}的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）求数列{an}的通项公式； （3）若，求满足条件的最大整数n． 12．已知双曲线C：x2﹣y2＝m（m＞0），点P1（5，4）在C上，k为常数，0＜k＜1，按照如下方式依次构造点Pn（n＝2，3， ），过Pn﹣1斜率为k的直线与C的左支交于点Qn﹣1，令Pn为Qn﹣1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为（xn，yn）． （1）若，求x2，y2； （2）证明：数列{xn﹣yn}是公比为的等比数列； （3）设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，证明：对任意的正整数n，Sn＝Sn+1． 13．设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2…，a4m+2是（i，j）———可分数列． （1）写出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使数列a1，a2，…，a6是（i，j）———可分数列； （2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）———可分数列； （3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）———可分数列的概率为Pm，证明：Pm． 14．已知{an}是等差数列，a2+a5＝16，a5﹣a3＝4． （Ⅰ）求{an}的通项公式及（n∈N*）； （Ⅱ）设{bn}是等比数列，且对于任意的k∈N*，当2k ... ...