小专题(二) 巧用乘法公式 类型一 巧用乘法公式的变形求代数式的值 第1题 1. 如图,用四张完全相同且长、宽分别为x,y(x>y)的长方形纸片围成一个大正方形ABCD,中间是空的小正方形EFGH.已知AB=7,EF=3,则下列关系式不正确的是 ( ) A. x-y=3B. xy=10 C. x2-y2=21D. x2+y2=40 2. 已知(x+y)2=24,(x-y)2=8,则x2+y2的值为 ,xy的值为 . 3. 已知x+=3,求下面各式的值: (1) ; (2) x4+. 4. 若m+n=3,mn=2,求(m-n)2的值. 5. (1) 若x+y=3,xy=1,则x2+y2的值为 . (2) 若x(5-x)=4,则x2+(x-5)2的值为 . (3) 两块完全相同的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)按如图所示的方式放置,且点A,O,D在同一条直线上,连接AC,BD.若AD=16,S△AOC+S△BOD=68,求一块三角板的面积. 第5题 类型二 巧用乘法公式进行简便运算 6. 计算: (1) 38.92-2×48.9×38.9+48.92; (2) ; (3) 342+34×32+162; (4) 20242-2023×2025. 类型三 逆用乘法公式求值或说理 7. 已知(3x-y)2-6x+2y=-1,则3x-y与0.99的大小关系为 ( ) A. 3x-y>0.99 B. 3x-y=0.99 C. 3x-y<0.99 D. 无法确定 8. (2024·凉山)已知a2-b2=12,且a-b=-2,则a+b的值为 . 9. 已知x2+y2-2x+6y+10=0,则xy的值为 . 10. 已知(x-y-165)2+|x+y+2|=0,求代数式x2-y2的值. 11. 当t为整数时,试说明:(t-5)2-(t+7)2能被24整除. 12. 求多项式m2+2mn+2n2-6n-91的最小值. 小专题(二) 巧用乘法公式 1. D 2. 16 4 3. (1) 因为x+=3,所以=9,即x2+2x·+=9,所以x2+=7,所以=x2-2x·+=x2+-2=7-2=5 (2) 由(1),得x2+=7,两边平方,得=49,即x4+2x2·+=49,所以x4+=49-2=47 4. 因为m+n=3,所以(m+n)2=32,即m2+2mn+n2=9.因为mn=2,所以m2+n2=5,所以(m-n)2=m2-2mn+n2=(m2+n2)-2mn=5-2×2=1 5. (1) 7 (2) 17 (3) 设OA=a,OD=b,一块三角板的面积为S,则a+b=OA+OD=AD=16.由题意,得△AOC,△BOD为等腰直角三角形.因为S△AOC+S△BOD=68,所以a2+b2=68,即a2+b2=136.因为a2+b2=(a+b)2-2ab,所以2ab=(a+b)2-(a2+b2)=256-136=120,所以ab=60,所以S=ab=30.答:一块三角板的面积为30 6. (1) 原式=38.92-2×38.9×48.9+48.92=(38.9-48.9)2=(-10)2=100 (2) 原式=x+12=x2+12=x2-12==x8-x4+1 (3) 原式=342+2×34×16+162=(34+16)2=502=2 500 (4) 原式=20242-(2024-1)×(2024+1)=20242-20242+1=1 7. A 8. -6 9. -3 10. 由题意,得x-y=165,x+y=-2,所以x2-y2=(x-y)(x+y)=165×(-2)=-330 11. (t-5)2-(t+7)2=[(t-5)+(t+7)][(t-5)-(t+7)]=(2t+2)×(-12)=-24(t+1).因为t为整数,所以-(t+1)也是整数,所以-24(t+1)是24的整倍数,所以(t-5)2-(t+7)2能被24整除 12. m2+2mn+2n2-6n-91=(m2+2mn+n2)+(n2-6n+9)-100=(m+n)2+(n-3)2-100.因为(m+n)2≥0,(n-3)2≥0,所以(m+n)2+(n-3)2-100≥-100,所以多项式m2+2mn+2n2-6n-91的最小值是-100
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