2024-2025学年山西省高三（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知，，且，其中是虚数单位，则( ) A. B. C. D. 3.已知，，则( ) A. B. C. D. 4.将单词“”的个字母填入编号从到的一排方格中，每个方格至多填入个字母，且号方格填字母“”，则得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5.天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展世纪的科学家比鲁尼的著作马苏德规律一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形测得一座山的高如图，再于山顶处悬一个直径为且可以转动的圆环如图，从山顶处观测地平线上的一点，测得且，由此可以算得地球的半径( ) A. B. C. D. 6.在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7.已知过点作曲线的切线有且仅有条，则的值为( ) A. 或 B. 或 C. D. 8.已知点在抛物线：上，，是上不同的两点异于点，若直线，被圆：截得的弦长都为，则直线的方程为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10.已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则( ) A. B. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 C. 为奇函数 D. 在上的最大值为 11.已知定义域为的函数满足，且，，则( ) A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在正四棱台中，，，则正四棱台的体积为_____． 13.在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为_____． 14.若，，则 _____． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 数列的前项和为，，当时，． 求证：数列是等差数列，并求的表达式； 设，求数列的最大项的值． 16.本小题分 近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅印发城市燃气管道等老化更新改造实施方案年某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区个家庭中随机抽取了个家庭燃气使用情况进行调查，统计了这个家庭一个月的燃气使用量单位：，得到如下频数分布表： 燃气使用量单位： 频数 若采用分层抽样的方法从燃气使用量在和这两组的家庭中随机抽取个家庭，市政府决定从这个家庭中抽取个跟踪调查其使用情况，记随机变量表示这个家庭中燃气使用量在内的家庭个数，求的分布列和数学期望； 将这一个月燃气使用量超过的家庭定为“超标”家庭若该社区这一个月燃气使用量服从正态分布，其中近似为个样本家庭的平均值，估计该社区中“超标”家庭的户数结果四舍五入取整数 附：若服从正态分布，则，，． 17.本小题分 如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置． 求三棱锥外接球的表面积； 当平面平面时，证明：，并求二面角的余弦值． 18.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，双曲线：的两条渐近线的方程分别为，，直线是的切线，分别交直线，于，两点分别在第一，四象限，且时，的面积为． 若的离心率为，求的方程； 试探究：是否存在双曲线，使的面积恒为？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由． 19.本小题分 一般地，对于给定的两条直线：和：，把方程为不全为的实数表示由和决定的直线系，当与相交时，是以与的交点为中心的中心直线系，当与平行时，该直线系称为平行直线系在数学中把这种具有某种共同性质的直线的全体 ... ...
