上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2025届高三下学期开学考数学试卷（含答案）

上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2025届高三下学期开学考数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列关于双曲线的性质表述错误的是( ) A. 焦距为 B. 实轴长为 C. 两渐近线夹角为 D. 离心率为 2.已知，，若，则( ) A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最大值 3.下列结论正确的是( ) A. 已知一组样本数据，现有一组新的数据，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大； B. 已知具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是； C. 名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为人 D. 已知随机变量，若，则 4.设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合出下列四个命题． 若与均为等差数列，则中最多有个元素； 若与均为等比数列，则中最多有个元素； 若为等差数列，为等比数列，则中最多有个元素； 若为递增数列，为递减数列，则中最多有个元素． 则上述命题中正确的个数为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 5.等比数列中，，则 ． 6.已知复数满足为虚数单位，则 ． 7.已知，，若与互相垂直，则实数的值是 ． 8.已知，则的值为 ． 9.圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则圆锥的体积为 ． 10.已知常数，函数经过一个定点，则该定点坐标为 ． 11.在一次马拉松比赛中，名运动员的成绩单位：分钟的茎叶图如图所示． 若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取人，则其中成绩在区间上的运动员人数是 ． 12.小张和小李同学在玩数字游戏，在一张空白纸上依次写有这个自然数，然后小张划掉最前面的个数，，，，并将它们的和写在数列的最后，然后小李继续划去，，，这个数，并将其和写在的后面两人依次操作，假设他们俩在计算和操作都正确的情况下，最后将剩下一个数，该数为 ． 13.若函数，则图像上关于原点对称的点共有 对 14.某班有学生人，则至少有两人生日相同的概率为 假定一年天，答案精确到． 15.如图，四边形中，已知，则对角线的长为 ． 16.若集合，若集合恰有两个元素，则所有满足要求的实数组成的集合为 ． 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 直三棱柱中，，，． 求异面直线与所成角的大小； 求点到平面的距离． 18.本小题分 已知函数，其中常数． 若，求不等式的解集； 若，试比较与的大小． 19.本小题分 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取件和件，测量产品中微量元素、的含量单位：毫克下表是乙厂的件产品的测量数据： 编号 已知甲厂生产的产品共件，求乙厂生产的产品数量； 在的条件下，当产品中的微量元素、满足且，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； 从乙长抽出的上述件产品中，随机抽取件，求抽取的件产品中优等品数的分布列及其均值即数学期望． 20.本小题分 已知平面直角坐标系中动点，定点，． 若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标； 若点在轴上，且的外接圆与轴相切于点，求此时圆的半径； 设点在椭圆上，求的面积的最大值并求相应点的坐标． 21.本小题分 设函数，的值域为． 若的值域为，求，满足的条件； 设，若，令，求的解析式； 设，若，求的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.解：在直三棱柱中，， 为异面直线与所成角，，， ，， ，， 平面，平面，，， 故，，， 故异面直线与所成角的大小为． 连接，，， 平面，平面，， ，平面， 平面， 而，则平面， 设点到平面的距离为，由等体积法可得， 则， 解得，故点到平面的距离为． ... ...