(
课件网) 三角形角的关系的五种常见应用 专项素养综合练（四） 类型一 利用三角形内角和定理求角的度数 1.(2024江西南昌外国语学校期末)如图,AD是△ABC的角平分线, CE是△ABC的高,AD,CE相交于点P.若∠BAC=66°,∠BCE= 40°,求∠ADB和∠APC的度数. 解析 ∵CE是△ABC的高, ∴∠BEC=∠AEC=90°. 在Rt△BCE中,∠BEC=90°,∠BCE=40°, ∴∠B=180°-∠BCE-∠BEC=180°-40°-90°=50°. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD= ∠BAC= ×66°=33°. 在△ABD中,∠B=50°,∠BAD=33°, ∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-33°=97°. ∵∠APC是△AEP的外角, ∴∠APC=∠AEP+∠BAD=90°+33°=123°. 类型二 利用三角形内角和定理解决折叠问题 2.(2024山东聊城东昌府月考)如图,有一个三角形纸片ABC,∠A= 65°,∠B=75°,将纸片进行折叠,使点C落在△ABC外的点 C'处,若∠2=36°,则∠1的度数为 ( ) A.96° B.106° C.116° D.126° C 解析 如图, ∵∠A=65°,∠B=75°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°- 75°=40°,由折叠可知∠C'=∠C=40°, ∵∠3+∠2+∠5+∠C'=180°,∠5=∠4+∠C=∠4+40°, ∠2=36°, ∴∠3+36°+∠4+40°+40°=180°,∴∠3+∠4=64°, ∴∠1=180°-64°=116°,故选C. 3.(2024重庆奉节期末)如图,把三角形纸片ABC折叠,使点B, 点C都与点A重合,折痕分别为DE,MN,若∠BAC=110°,则 ∠DAM的度数为 ( ) A.40° B.60° C.70° D.80° A 解析 ∵在△ABC中,∠BAC=110°, ∴∠B+∠C=180°-110°=70°, 由折叠可知∠B=∠DAE,∠C=∠MAN, ∴∠DAE+∠MAN=∠B+∠C=70°, ∴∠DAM=110°-70°=40°,故选A. 4.(2024河北保定顺平期中)如图,在△ABC中,BP,CP分别平分 ∠ABC,∠ACB,BP,CP交于点P. (1)若∠A=72°,则∠BPC= . (2)若∠A=α,则∠BPC= (用含α的代数式表示). 126° 90°+ α 类型三 与三角形双内角平分线有关的运算 解析 (1)∵在△ABC中,∠A=72°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-72°=108°, ∵BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB, ∴∠2=∠1= ∠ABC,∠4=∠3= ∠ACB, ∴∠2+∠4= ∠ABC+ ∠ACB= (∠ABC+∠ACB)= ×108° =54°, ∴∠BPC=180°-(∠2+∠4)=180°-54°=126°. 故答案为126°. (2)∵在△ABC中,∠A=α, ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α, ∵BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB, ∴∠2=∠1= ∠ABC,∠4=∠3= ∠ACB, ∴∠2+∠4= ∠ABC+ ∠ACB= (∠ABC+∠ACB)= ×(180°- α)=90°- α, ∴∠BPC=180°-(∠2+∠4)=180°- =90°+ α.故答案 为90°+ α. 类型四 与三角形双外角平分线有关的运算 5.如图所示,∠CBD,∠BCE的平分线交于点O,写出∠BOC与 ∠A的数量关系,并说明理由. 解析 ∠BOC=90°- ∠A. 理由:在△ABC中,∠ABC+∠ACB+∠A=180°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∵BO,CO分别平分∠DBC, ∠ECB,∴∠OBC= ∠DBC,∠OCB= ∠ECB, ∴∠OBC+∠OCB= ∠DBC+ ∠ECB= [(180°-∠ABC)+ (180°-∠ACB)]= [360°-(∠ABC+∠ACB)]= [360°-(180°-∠A)]= 90°+ ∠A. ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- =90°- ∠A. 类型五 与三角形内、外角平分线有关的运算 6.如图①②③,若∠A=42°,∠1=∠2,∠3=∠4,则∠O1+∠O2+ ∠O3= ( ) A.84° B.111° C.225° D.201° D 解析 ∵∠A=42°,∠1=∠2,∠3=∠4, ∴题图①中,∠2+∠4= (∠1+∠2+∠3+∠4)= ×(180°-42°)= 69°,故∠O1=180°-69°=111°;题图②中,∠O2=∠4-∠2= × [(∠3+∠4)-(∠1+∠2)]= ∠A=21°;题图③中,∠ABC+∠ACB= 180°-∠A=180°-42°=138°,则∠1+∠2+∠3+∠4=180°+ 180°-138°=222°,故∠O3=180°-(∠2+∠3)=180°- ×222°=69°.∴∠O1+∠O2+∠O3=111°+21°+69°=201°,故选D.(
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~