专题01 平方根与立方根【知识串讲+八大考点】（原卷版+解析版）-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）

专题01 平方根与立方根 （一）平方根 （1）平方根的定义：若，那么x叫做a的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 开平方运算的被开方数必须是非负数（开方数≥0）才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9，9的平方根是3 （4）一个正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算； 0的平方根是0. （5）符号：a（a≥0）的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根； a（a≥0）的负的平方根可用-表示． （6） （二）算术平方根 （1）算术平方根的定义： 若，且x＞0，那么正数x叫做a的算术平方根；记为。 规定：0的算术平方根是0. （2）的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有理数； 当a不是一个完全平方数时，是一个无理数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时，它的算术平方根也缩小。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5） (x≥0) （6）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系： 区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 （三）立方根 （1）立方根的定义：若，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 （2）一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”， 其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 （3） 一个正数有一个正的立方根； 0有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根。 （4） （5），这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点1：平方根、立方根概念理解 典例1：若数字有两个平方根，则一定是（ ） A．正数 B．负数 C．整数 D．分数 【变式1】下列各数中，没有平方根的是（ ） A．2 B．0 C． D． 【变式2】 “平方根等于本身的数是0”这个命题条件和结论互换后的命题是 命题．（填：真或假） 【变式3】一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是 考点2：开平方、开立方运算 典例2：的平方根是（ ） A．2 B． C．4 D． 【变式1】的值等于（ ） A． B． C． D． 【变式2】 125的立方根为 ，的平方根为 ． 【变式3】的相反数是 ，25 的平方根是 ， 的立方根是 ． 考点3：平方根的运用性质 典例3：若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式1】若，，且，则的值为（ ） A． B． C．1或5 D．或 【变式2】 一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 【变式3】已知一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是 ． 考点4：运用平方根解方程 典例4：求下列各式中的值． (1)； (2)． 【变式1】求下列各式中的： (1)； (2)． 【变式2】 求下列各式中的值： (1)； (2)． 【变式3】解方程： (1) (2) 考点5：算术平方根的非负性 典例5：已知，则的值为（ ） A． B．0 C．6 D．1 【变式1】已知实数满足，那么的值为（ ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 【变式2】 如果x，y为实数，且满足，那么的值是 ． 【变式3】若，则的值为 ． 考点6：算术平方根的规律探究 典例6：设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】 计算四个式子的值：；；；，观察计算结果，发现规律得出：的值为 ． 【变式3】小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 考点7：平方根、立方根的实际应用 典例7：小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害 ... ...