一线三等角相似模型—人教版数学九下解题模型专项训练 一、选择题 1．（2024九上·八步期末）如图，在线段上取点，使得，若，则的值为（ ） A． B． C．2 D．3 2．如图， 在矩形 中， ， 若 是边 的中点， 连结 ， 过点 作 交 于点 ， 则 的长为（ ） A．1.8 B．2.2 C．2.4 D．2.8 3．如图， 在边长为 4 的等边三角形 中， 是 边上的一个动点， 沿过点 的直线折叠 ， 使点 落在 边上的点 外， 折痕交 于点 ， 当 时， 则 的长是（ ） A． B． C．2 D． 4．（2024·苏州）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在等腰中，4，点是BC的中点，作分别交AC于点，交BA的延长线于点，若，则AF的长为（ ） A． B． C． D．1 6．如图， 面积为 36 的正方形 中， 有一个小正方形 ， 其中 分别在 上， 若 ， 则小正方形的边长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在四边形ABCD中，交AC于点E，ED，则AE的长为 . 8．如图，已知A 是反比例函数的第一象限的图象上的一个动点，连结AO 并延长交该图象另一支于 点B，以AB 为边作等边三角形ABC，点C在第四象限，记点 C的运动轨迹为l. （1）若点C的坐标为（x，y），则l的函数表达式为 . （2）过点A 作AD∥y 轴交l 于点D，过点A 作AM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y 轴于点N，则四边形ADNM 的周长的最小值为 三、解答题 9．如图， 在等边 中， 点 ， 分别在 边上， 连接 ， 且 ． （1） 求证： ； （2） 添加一个条件 ， 求证： ． 10．如图， 为等边三角形， 点 在线段 的延长线上， 点 在线段 的延长线上， 连结 ． （1）求证： ． （2） 若 ， 求 的长． 11．如图， 在平面直角坐标系中， 四边形 是梯形， ， 点 为 轴上的一个动点，点 不与点 重合． 连结 ， 过点 作 交 于点 ． （1） 直接写出点 的坐标： （2） 当点 在线段 上运动时， 使得 ， 且 ： ， 则点 的坐标为 12．已知点 在 延长线上， 且 ． （1） 如图 1，若 ， 求证： ． （2） 如图 2， 若 ∥， 若 ， 则 的值为 （3） 如图 3， 连结 AE， 若 ， 求证 ： ． 四、实践探究题 13．（2024·齐齐哈尔）综合与实践 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是 ； （2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积； （3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则 ； （4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使，请直接写出线段AP的长度． 14．在 中， ， ， 直线 经过点 ， 过点 分别作 的垂线， 垂足分别为点 ． （1） 特例体验： 如图 W6-10①， 若直线 ， 分别求出线段 和 的长． （2） 规律探究： （Ⅰ） 如图②， 若直线 从图①状态开始绕点 旋转 ， 请探究线段 和 的数量关系并说明理由； （Ⅱ） 如图③， 若直线 从图①状态开始绕点 顺时针旋转 ， 与线段 相交于点 ， 请再探究线段 和 的数量关系并说明理由． （3） 尝试应用： 在图③中， 延长线段 交线段 于点 ． 若 ， 求 ． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵∠CAD＝∠1＋∠BAD＝∠3＋∠ECA，∠1＝∠3， ∴∠ECA＝∠BAD， ∵∠2＝∠3， ∴△CEA∽△ADB， ∴， ∵AE＝1，AD＝2AE， ∴AD＝2， ∵CE＝6， ∴ ... ...
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