培优点 构造函数的应用 类型一 构造函数比较大小 例1 已知x>0,a=x,b=x-,c=ln(1+x),则 ( ) A.c
f(x)成立,则 ( ) A.3f(ln 5)>5f(ln 3) B.3f(ln 5)=5f(ln 3) C.3f(ln 5)<5f(ln 3) D.3f(ln 5)与5f(ln 3)的大小不确定 类型二 构造函数解不等式 角度1 利用f(x)与x构造 例3 已知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<-xf'(x),则不等式f(x+1)>(x-1)·f(x2-1)的解集是 ( ) A.(0,1) B.(2,+∞) C.(1,2) D.(1,+∞) 迁移 把本例中的条件“f(x)<-xf'(x)”换为“f(x)(2x+1)f(x2+1). _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 f(x)与x构造常见的形式 (1)对于f'(x)>a,构造h(x)=f(x)-ax; (2)对于xf'(x)+f(x)>0,构造h(x)=xf(x); (3)对于xf'(x)-f(x)>0,构造h(x)=; (4)对于nf(x)+xf'(x)形式,构造函数h(x)=xnf(x); (5)对于xf'(x)-nf(x)形式,构造函数h(x)=. 角度2 利用f(x)与ex构造 例4 已知f(x)为R上的可导函数,其导函数为f'(x),且对于任意的x∈R,均有f(x)+f'(x)>0,则 ( ) A.f(-2 025)f(0) B.f(-2 025)f(0),e2 025f(2 025)>f(0) D.f(-2 025)>f(0),e2 025f(2 025)0”换为“f'(x)>f(x)”,比较e2 025f(-2 025)和f(0)的大小. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 f(x)与ex构造常见的形式 (1)对于f'(x)+f(x)>0,构造h(x)=exf(x). (2)对于f'(x)>f(x),构造h(x)=. 角度3 利用f(x)与sin x,cos x构造 例5 (多选)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0,f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则下列判断中正确的是 ( ) A.f >0 C.f 例6 已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,函数y=f(x)对于任意的x∈(0,π)满足f'(x)sin x>f(x)cos x(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是 ( ) A.f B. C. D. 思维升华 f(x)与sin x,cos x构造常见的形式 (1)对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0,构造函数h(x)=f(x)sin x. (2)对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0,构造函数h(x)=. (3)对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0,构造函数h(x)=f(x)cos x. (4)对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0,构造函数h(x)=. 类型三 构造函数证明不等式 例7 已知函数f(x)=x+aex(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当x<0,a≤1时,证明:x2+(a+1)x>xf'(x). _____ _____ _____ _____ _____ 例8 已知a,b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底数,求证:ab>ba. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)=f(x)-g(x)>0(利用单调性),可构造出一个函数(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数),并利用导数判断所设函数的单调性,再根据函数单调性,证明要证的不等式. 培优点 构造函数的应用 例1 D [令f(x)=a-c=x-ln(1+x),x>0, 则f'(x)=1->0, ∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(x)>f(0)=0,可得a>c. 令g(x)=c-b=ln(1+x)-x+,x>0, 则g'(x)=>0, ∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴g(x)>g(0)=0,可得c>b. 综上可得a>c>b.] 例2 A [令g(x)=, 则g'(x)=, 因为对任意x∈R都有f'(x)>f(x), 所以g'(x)>0,即g(x)在R上单调递增. 又ln 3(x-1)f(x2-1), 所以(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1), 即g(x+1)>g(x2-1), 所以02. 所以不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是(2,+∞).故选B.] 迁移 解 设g(x)=, 则g'(x)=, 因为f(x)0, 故g(x)在(0,+∞) ... ... 