2.4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）选择性必修第二册

2.4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量 课标要求　1.能用向量语言表述直线和平面. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量. 3.会求直线的方向向量与平面的法向量. 【知识梳理】 1.位置向量 在空间中,取一定点O作为原点,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示,称为点P的位置向量. 2.直线的方向向量 (1)如果非零向量v与直线l　　　　,就称v为l的方向向量. (2)已知空间直线l上一个定点A以及这条直线的一个方向向量,就可以确定这条空间直线的位置. 温馨提醒　(1)空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量,且直线l的方向向量有无数个. 3.平面的法向量 (1)如果非零向量n所在直线与平面α　　　　,则称n为平面α的法向量. (2)给定一点A和一个向量n,那么,过点A,且以向量n为法向量的平面是完全确定的. 温馨提醒　(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个,它们相互平行. 【自测检验】 1.思考辨析,判断正误 (1)直线的方向向量及平面的法向量均是唯一的. (　　) (2)若两直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反. (　　) (3)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. (　　) (4)若向量n1,n2为平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线一定平行. (　　) 2.若A(2,1,1),B(1,2,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　　) A.(2,1,1) B.(-2,2,2) C.(-3,2,1) D.(2,1,-1) 3.已知平面内的两个向量a=(1,1,2),b=(1,2,3),则该平面的一个法向量为　　　　. 4.若直线l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为,则m等于　　　　. 题型一　直线的方向向量 例1 (1)已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线 l 过 A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z等于 (　　) A.0 B.1 C. D.3 (2) 在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为　　　　,直线 BC1 的一个方向向量为　　　　. 思维升华　理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量. (2)直线的方向向量不唯一. 训练1 (1)(多选)若M(1,0,-1),N(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是 (　　) A.(2,2,6) B.(1,1,3) C.(3,1,1) D.(-3,0,1) (2)从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取线段长||=34,则B点的坐标为 (　　) A.(18,17,-17) B.(-14,-19,17) C. 题型二　平面的法向量 例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量. _____ _____ _____ _____ _____ 迁移 若本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　利用待定系数法求平面法向量的步骤: (1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z). (2)选向量:在平面内选取两个不共线向量,. (3)列方程组:列出方程组. (4)解方程组: (5)赋非零值:取x,y,z其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论:得到平面的一个法向量. 训练2 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,△PAB是边长为1的正三角形,ABCD是菱形,∠ABC=60°,E是PC的中点,F是AB的中点,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面DEF的一个法向量. _____ _____ _____ _____ _____ 题型三　由位置向量确定点的位置 例3 已知点A(2,4,0),B(1,3,3),如图,以的方向为正向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件: (1)AP∶PB=1∶2; (2)AQ∶QB=2∶1. 求点P和点Q的坐标. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　求空间中点的坐标,一般要根据位置向量的定义,先设出要求点的坐标,再根据向量式列出方 ... ...