第二课时 向量与平行 课标要求 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. 【知识梳理】 1.两直线平行的判定方法 设v1,v2分别是直线l1,l2的方向向量,则 l1∥l2 k≠0,使得 . 2.直线和平面平行的判定方法 设v是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l α,则l∥α . 3.平面和平面平行的判定方法 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则 α∥β k≠0,使得 . 温馨提醒 用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合;证明线面平行时,必须说明直线不在平面内;证明面面平行时,必须说明两个平面不重合. 【自测检验】 1.思考辨析,判断正误 (1)两直线的方向向量平行,则两直线平行. ( ) (2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行. ( ) (3)若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行. ( ) 2.若直线l1和l2的方向向量分别是a=(1,-1,2),b=(-2,2,-4), 则 ( ) A.l1∥l2 B.l1与l2相交 C.l1与l2重合 D.l1∥l2或l1与l2重合 3.若两个不重合平面α,β的法向量分别为u=(1,2,-1),v=(-3,-6,3),则 ( ) A.α∥β B.α⊥β C.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确 4.已知直线l的一个方向向量为u=(2,0,-1),平面α的一个法向量为v=(-2,1,-4),则l与α的位置关系为 . 题型一 直线和直线平行 例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,点M在棱BB1上,且BM=2MB1,点S在DD1上,且SD1=2SD,点N,R分别为A1D1,BC的中点,求证:MN∥RS. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 证明直线平行的两种思路 训练1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1. _____ _____ _____ _____ _____ 题型二 直线和平面平行 例2 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1.问:在棱PD上是否存在一点E,使得CE∥平面PAB 若存在,求出E点的位置,若不存在,请说明理由. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法: (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一组基表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证. (3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 训练2 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,求证:AB1∥平面DBC1. _____ _____ _____ _____ _____ 题型三 平面和平面平行 例3 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.求证:平面AMN∥平面EFDB. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 证明面面平行问题可由以下方法去证明: (1)转化为相应的线线平行或线面平行;(2)分别求出这两个平面的法向量,然后证明这两个法向量平行.本题采用的是方法(2),解题过程虽复杂,但思路清晰,是证明平面平行的常用方法. 训练3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是正方体六个表面的中心,证明:平面EFG∥平面HMN. _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.(多选)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是 ( ) A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,PQ与直线A1D和AC都垂直,则直线PQ与BD1的位置关系是 ( ) A.异面 B.平行 C.垂直不相交 D.垂直且相交 3.设平面α,β的一个法向量分别为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则α,β的位置关系为 . 4.若直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面α的 ... ...
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