2.4.3　向量与夹角（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）选择性必修第二册

2.4.3　向量与夹角 课标要求　1.能用向量方法解决简单夹角问题. 2.通过用空间向量解决夹角问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用. 【知识梳理】 1.直线与直线的夹角 设两条异面直线a与b所成的角为θ,它们的方向向量分别是v1,v2,设v1与v2所成的角为φ,则cos θ=　　　　=|cos|=　　　　. 2.直线与平面所成的角 当直线l与平面α相交且不垂直时,设它们所成的角为θ(θ∈),v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,v与n的夹角为φ,则sin θ=　　　　=|cos|=　　　　. 3.两个平面所成的角 (1)两平面所成的角:两个平面相交会形成四个二面角,一般规定较小的二面角为两平面所成的角,范围:　　　　. (2)两平面所成角的计算:设两个平面α1和α2所成的角为θ,平面α1,α2的法向量分别为n1和n2,记=φ,则cos θ=　　　　=|cos|=　　　　. 【自测检验】 1.思考辨析,判断正误 (1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. (　　) (2)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角. (　　) (3)两个平面所成的角就是该二面角两个面的法向量的夹角. (　　) 2.设两条异面直线a,b的方向向量分别为a=(-1,1,0),b=(0,-1,1),则直线a与b的夹角为 (　　) A. 3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的角的大小为 (　　) A.45° B.60° C.90° D.135° 4.设直线a的方向向量为a=(-1,2,1),平面α的法向量为b=(0,1,2),则直线a与平面α所成角的正弦值为　　　　. 题型一　异面直线所成的角 例1 在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为 (　　) A. 思维升华　1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是:(1)选好基或建立空间直角坐标系;(2)求出两直线的方向向量v1,v2;(3)代入公式cos θ=求解. 2.两异面直线所成角θ的范围是,两向量的夹角α的范围是[0,π],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线所成的角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角. 训练1 如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值. _____ _____ _____ _____ _____ 题型二　直线和平面所成的角 例2 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a,M为A1B1的中点,求BC1与平面AMC1所成角的正弦值. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系;(2)求直线PA的方向向量v;(3)求平面的法向量n;(4)设线面角为θ,则sin θ=. 训练2 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,求直线A1B与平面BDE所成的角. _____ _____ _____ _____ _____ 题型三　两个平面所成的角 例3 如图,在正方体ABEF-DCE'F'中,M,N分别为AC,BF的中点,求平面MNA与平面MNB所成的角的余弦值. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　求两个平面所成的角的大小时,多采用法向量的方法,即求出两个平面的法向量,然后通过法向量的夹角得到两个平面所成角的大小,这种方法思路简单,但运算量大,所以求解时需特别注意仔细运算. 训练3 已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,求平面PAB与平面PCD所成的角. _____ _____ _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos=-,则l与α所成的角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为 (　　) A. 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 (　　) A. 4.如图 ... ...