*3.1.5 贝叶斯公式 课标要求 1.了解贝叶斯公式. 2.结合古典概型和全概率公式以及贝叶斯公式计算概率(不作考试要求). 【知识梳理】 1.贝叶斯公式的概念 一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有P(B|A)== . 2.贝叶斯公式的推广 设A1,A2,…,An满足AiAj= (i≠j),且A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω.若P(Ai)>0(i=1,2,…,n),则对任一事件B(其中P(B)>0),由条件概率及全概率公式,有P(Ai|B)= ＝ i=1,2,…,n). 【自测检验】 1.思考辨析,判断正误 (1)贝叶斯公式通过先验概率以及其他信息,可以算出后验概率. ( ) (2)贝叶斯公式可以看成根据发生的结果找原因. ( ) (3)贝叶斯公式中样本Ω中的事件A1,A2,…,An中任意两个事件是互斥的. ( ) 2.若P(B)=0.95,P(A|B)=0.98,P(A|)=0.55,则P(B|A)≈ ( ) A.0.96 B.0.97 C.0.98 D.0.99 3.假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌,以C表示“被检验者患有肝癌”这一事件,以A表示“判断被检验者患有肝癌”这一事件.假设这一检验法相应的概率为P(A|C)=0.95,P()=0.90.又设在人群中P(C)=0.000 4.现在若有一人被此检验法诊断为患有肝癌,则此人真正患有肝癌的概率P(C|A)= . 4.袋中有10个黑球,5个白球.现掷一枚均匀的骰子,掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球,则掷出3点的概率为 . 题型一 贝叶斯公式的概念 例1 根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下的效果:若以A表示事件“试验反应为阳性”,以C表示事件“被诊断者患有癌症”,则有P(A|C)=0.95,P()=0.95.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,即P(C)=0.005,试求P(C|A). _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 解决此问题的关键是对公式中各量的理解,从而抽象出数学模型,然后利用公式解决问题. 训练1 若P(B)=0.4,P(A|B)=0.35,P(A|)=0.2,则P(B|A)等于 ( ) A.0.52 B.0.54 C.0.56 D.0.58 题型二 贝叶斯公式的应用 例2 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车为0.01,今有一辆汽车中途停车修理,求该汽车是货车的概率. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 利用贝叶斯公式求概率的步骤 (1)利用全概率公式计算P(A), 即P(A)=P(Bi)P(A|Bi); (2)计算P(AB),可利用P(AB)=P(B)P(A|B)求解; (3)代入P(B|A)=求解. 训练2 对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为99%,而当机器发生某种故障时,其合格率为45%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%.试求某日早上的第一件产品是合格时,机器调整良好的概率是多少 _____ _____ _____ _____ _____ 题型三 贝叶斯公式推广的应用 例3 小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图),但是每条路每天拥堵的可能性不太一样,由于远近不同,选择每条路的概率分别为P(L1)=0.5,P(L2)=0.3,P(L3)=0.2,每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)=0.2,P(C2)=0.4,P(C3)=0.7. 假设遇到拥堵会迟到,那么: (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少 (2)已知到达公司未迟到,选择道路L1的概率是多少 _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么:(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率,熟记这个特征,在遇到相关的题目时,可以准确地选择方法进行计算,保证解题的正确、高效. 训练3 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三家产品数所占比例为2∶3∶5,混合在一起. (1)从中任取一件,求此产品为正品的概率; (2)现取到一件产品为正品,问它是由 ... ...
