3.2.3 离散型随机变量的数学期望（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）选择性必修第二册

3.2.3　离散型随机变量的数学期望 课标要求　1.通过实例理解离散型随机变量数学期望的概念,能计算简单离散型随机变量的数学期望. 2.理解离散型随机变量数学期望的性质. 3.会利用离散型随机变量的数学期望反映离散型随机变量的取值水平,解决一些相关的实际问题. 【知识梳理】 1.离散型随机变量的数学期望 (1)离散型随机变量的数学期望的概念 一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)=　　　　　　　　　　　　　　为X的数学期望或均值. (2)离散型随机变量的数学期望的意义 数学期望刻画了离散型随机变量的　　　　　　　　　　　　. 温馨提醒　(1)数学期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均数. (2)离散型随机变量的数学期望E(X)是一个数值,是随机变量X本身固有的一个数字特征,它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平. 2.两点分布、二项分布及超几何分布的数学期望 (1)两点分布:若X~B(1,p),则E(X)=　　　　　　　　　　　　. (2)二项分布:若X~B(n,p),则E(X)=　　　　　　　　　　　　. (3)超几何分布:若X~H(N,M,n),则E(X)=　　　　. 温馨提醒　离散型随机变量的数学期望与本身有相同的单位. 3.数学期望的性质 若Y=aX+b,a,b为常数,则E(Y)=　　　　. 温馨提醒　(1)当a=0时,E(b)=b,即常数的数学期望就是这个常数本身. (2)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2),即两个随机变量和的数学期望等于数学期望的和. 【自测检验】 1.思考辨析,判断正误 (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化. (　　) (2)随机变量的数学期望与样本的平均值相同. (　　) (3)若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4. (　　) (4)离散型随机变量的数学期望能离开其分布列而独立存在. (　　) 2.已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)= (　　) A. D.3 3.若随机变量X服从二项分布B,则E(X)= (　　) A. 4.已知随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.3 x 0.1 则x=　　　　,E(ξ)=　　　　. 题型一　离散型随机变量的数学期望 例1 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”,规则如下:在这一环节中嘉宾需要猜三道题目,若三道题目中猜对一道题目可得1分,若猜对两道题目可得3分,要是三道题目完全猜对可得6分,若三道题目全部猜错,则扣掉4分,如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为,,,且三道题目之间相互独立,求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与数学期望. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　求随机变量的数学期望关键是写出分布列,一般分为四步:(1)确定ξ的可能取值;(2)计算出P(ξ=k);(3)写出分布列;(4)利用E(ξ)的计算公式计算E(ξ). 训练1 已知袋中有4只红球,3只黑球,今从袋中随机取出4只球,设取到一只红球得2分,取到一只黑球得1分,试求得分X的数学期望. _____ _____ _____ _____ _____ 题型二　二项分布、超几何分布的均值 例2 为了解适龄民众对放开生三胎政策的态度,某市选取70后作为调查对象,随机调查了10人,其中打算生三胎的有4人,不打算生三胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人,记打算生三胎的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和均值; (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率作为概率,从该市70后中随机抽取3人,记打算生三胎的人数为η,求随机变量η的分布列和均值. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　求常见的几种分布的均值的关注点 (1)关键:根据题意准确判定分布类型. (2)计算:若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布,可直接代入公式求得均值. 训练2 某广场上有4盏装饰灯,晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯,每盏灯出现红灯的概率都是,出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ,当这4盏装饰灯闪烁一 ... ...