3.2.4 离散型随机变量的方差（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019）选择性必修第二册

3.2.4　离散型随机变量的方差 课标要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和意义. 2.能计算简单随机变量的方差,并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质,会利用公式求方差. 【知识梳理】 1.离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 由数学期望的公式可知D(X)=E{[X-E(X)]2}=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn,则称D(X)为随机变量X的　　　　,并称为X的　　　　.通常还用σ2表示方差D(X),用σ表示标准差. 温馨提醒　(1)离散型随机变量方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散. (2)离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方,标准差与随机变量本身的单位相同. (3)方差的变形公式: D(X)＝xpi－[E(x)]2. 2.离散型随机变量方差的性质 (1)X为离散型随机变量,a,b为常数,若Y=aX+b,则D(aX+b)=　　　　. (2)D(c)=　　　　(其中c为常数) 3.两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X服从两点分布,则D(X)=　　　　　(其中p为成功概率); (2)若X~B(n,p),则D(X)=　　　　. 【自测检验】 1.思考辨析,判断正误 (1)离散型随机变量的方差越大,随机变量的取值越集中. (　　) (2)若a是常数,则D(a)=0. (　　) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度. (　　) (4)离散型随机变量的方差与标准差的单位相同. (　　) 2.设随机变量X的方差D(X)=1,则D(2X+1)的值为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 3.设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,令随机变量ξ=则ξ的方差D(ξ)= (　　) A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m) 4.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=　　　　. 题型一　离散型随机变量的方差与标准差 例1 已知X的分布列如下: X -1 0 1 P a (1)求X2的分布列; (2)计算X的方差; (3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　方差的计算需要一定的运算能力,公式的记忆不能出错!在随机变量X2的均值比较好计算的情况下,运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X). 训练1 已知η的分布列为 η 0 10 20 50 60 P (1)求η的方差及标准差; (2)设Y=2η-E(η),求D(Y). _____ _____ _____ _____ _____ 题型二　两点分布与二项分布的方差 例2 为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设ξ为成活沙柳的株数,数学期望E(ξ)为3,标准差. (1)求n和p的值,并写出ξ的分布列; (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种.求需要补种沙柳的概率. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　方差的性质:D(aξ+b)=a2D(ξ).若ξ服从两点分布,则D(ξ)=p(1-p).若ξ服从二项分布,则D(ξ)=np(1-p). 训练2 某厂一批产品的合格率是98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品的个数的方差; (2)从中有放回地随机抽取10件产品,计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差. _____ _____ _____ _____ _____ 题型三　方差的综合应用 例3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为: 甲保护区: X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保护区: Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　1.求随机变量Y=aX+b方差的方法 (1)先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差. (2)应用公式D(aX+b)=a2D(X)求解. 2.期望和方差在决策问题中的应用思路 离散型随机变量的期望 ... ...