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课件网) 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能运用计算公式求几何体的表面积和体积. 对于空间几何体，我们分别从结构特征和直观图两个方面进行了研究，但为了度量一个几何体的大小，我们还需进一步学习几何体的表面积和体积。 思考1：我们学过哪些几何体的面积和体积的求法及公式？ 问题导入 埃及金字塔被誉为世界奇迹,在生产工具很落后的时代,埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多,每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的金字塔的 这真是一个十分难解的谜.图中的金字塔外形是一个正四棱锥. 思考2：如何求金字塔的体积和表面积？对于常见多面体与旋转体又该如何求它们的表面积和体积？ 问题导入 讨论：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？ 空间问题 平面问题 几何体表面积 展开图 平面图形面积 （一）棱柱、棱锥、棱台的表面积 问题1：棱柱的展开图是什么？如何计算它的表面积？ h 棱柱的底面展开图是两个全等的多边形； 棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边长等于侧棱长，另一边等于棱柱的底面周长; 表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和： = 问题2：棱锥的展开图是什么？如何计算它的表面积？ 棱锥的侧面展开图是由若干个三角形组成; 表面积是侧面展开图的面积加上底面积的 = 问题3：棱台的展开图是什么？如何计算它的表面积？ 棱台 棱柱的底面展开图是两个相似的多边形； 棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成; 表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和： = h' 求棱柱、棱锥、棱台的侧面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题，而计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。 棱柱、棱锥、棱台的表面积求解策略 知识归纳 例1.如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积. 解：因为是正三角形，其边长为，所以. 因此，四面体的表面积为. 练习1：已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高的夹角为30°.求该正四棱锥的侧面积和表面积． 解：如图所示，设正四棱锥P－ABCD，其高为PO，斜高为PE，底面边心距为OE，它们组成一个直角三角形POE. 练习2：已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，求它的侧面面积. 解：(法一)设正四棱台为，如图.设为斜高. 在中，，， 所以. 所以. 所以正四棱台的侧面面积为. F 解：(法二)设正四棱台为，延长正四棱台的侧棱交于点，作面上的斜高，交于，如图. 设，则，解得，所以. 又， 所以. 所以. 所以正四棱台的侧面面积为. 思考：还记得以前学过的特殊棱柱———正方体、长方体的体积公式吗？ (a为正方体的棱长) (a、b、c为长方体的长、宽、高) 思考：你能猜想四棱柱的体积公式吗？ V棱柱=sh 底面积×高 c a （二）棱柱、棱锥、棱台的体积 观察：取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？ 高度、书中每页纸面积和顺序不变 幂势既同，则积不容异. 祖暅原理 两等高的几何体,若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等． 问题1：由祖暅原理你能得到什么启发？棱柱的体积是？ 一般地，如果棱柱的底面积是，高是，那么这个棱柱的体积. 棱柱的高是指两底面之间的距离 问题2：将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？ 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.即： 问题3:怎么求棱台的体积呢？ 由于棱台是由棱锥截成的， 因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的 ... ...
