2025届高一下学期数学期中综合模拟试题（人教A ）（一）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025届高一下学期数学期中综合模拟试题（人教A ）（一） 一、单选题 1．已知复数，则其共轭复数（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，若，则实数（ ） A． B． C．6 D． 3．已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知向量、满足，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 6．《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵.阳马和鳖臑的体积分别为，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 7．已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧面上，从点到的最短路径的长度为（ ） A． B． C．6 D． 二、多选题 9．下列命题中，正确的是（ ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 10．若复数满足，则（ ） A．为纯虚数 B． C． D． 11．中，内角的对边分别为，为的外心，，，的面积满足.若.则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为 ． 13．如图．已知矩形中，，，分别是，的中点，则 ． 14．在四面体ABCD中，，，，，，，则四面体ABCD的外接球的表面积为 ，四面体ABCD的体积为 . 四、解答题 15．已知，，且与的夹角为120°，求： (1)； (2)若向量与平行，求实数的值． 16．知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 17．在中，内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值． 18．某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆柱孔的底面半径为.计算时取3.14. (1)求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土； (2)为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数） 19．如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角． (1)若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：； (3)在中，记的布罗卡尔角为，若，求证：． 参考答案 1．C 由复数乘法法则计算出后可得其共轭复数． ，所以． 故选：C． 2．D 根据共线向量的坐标公式求解即可． 由，得，解得， 故选：． 3．B 根据圆柱侧面积和球表面积公式列方程，解方程即可. 设圆柱的母线长为，则，解得. 故选：B. 4．B 利用正弦定理求出，即可求出． 由正弦定理得，所以， 因为，所以，所以， 则， 故选：B． 5．C 设向量、的夹角为，由平面向量数量积的运算性质可得出，再利用投影向量的定义可求得结果. 设向量、的夹角为，因为，可得， 所以，在上的投影向量为. 故选：C. 6．C 根据题设得，，再分析阳马与鳖臑的体积数量关系，即可判断各项正误. 由题意可知：，， 如下图，连接，将阳马一分为二， 因为， 可得，， ... ...