中小学教育资源及组卷应用平台 第六章 计数原理章末复习 知识点一 两个计数原理 （一）分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． （二）分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． （三） 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点 针对的是“分类”问题 不同点 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事 （四）两个计数原理的解题思路：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步． ①分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． ②分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． 知识点二 排列 （一）排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 排列数 （1）定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． （2）排列数公式的两种形式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. （3）．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 知识点三 组合 （一）组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． （二）组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． （三）排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系A＝C （四） 组合数公式 ①C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1 ②C＝C ③C＝C＋C 知识点四 二项式定理 （一）二项式定理展开式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． （二）二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. （三）二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性与最大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的； 当k>时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 考点一 排列组合 【例1】（24-25高二上·山东东营·期末）（多选）将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（ ） A．男生不在头尾的不同排法有2400种 B．男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种 C．假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种 D．2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种 【例2】（24-25高二上·河南·期中）（多选）用、、、、 ... ...
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