2025年九年级中考数学三轮冲刺训练高频考点突破求圆中外接圆问题的综合（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年九年级中考数学三轮冲刺训练高频考点突破求圆中外接圆问题的综合 1．如图，△ABC中，AB＝4，D为AB中点，∠BAC＝∠BCD，cos∠ADC，⊙O是△ACD的外接圆． （1）求BC的长； （2）求⊙O的半径． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交直线BC，于点E，F，射线AF交直线BC于点G． （1）求证AC＝CG． （2）若点E在CB的延长线上，且EB＝CG，求∠BAC的度数． （3）当BC＝6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由． 3．已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R． （1）求证：2R； （2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC，求BC的长及sinC的值． 4．如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上． （1）求证：AE＝AB． （2）若∠CAB＝90°，cos∠ADB，BE＝2，求BC的长． 5．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC＝PB． （1）求证：BG∥CD； （2）设△ABC外接圆的圆心为O，若ABDH，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小． 6．如图，点D是等边三角形ABC外接圆上一点．M是BD上一点，且满足DM＝DC，点E是AC与BD的交点． （1）求证：CM∥AD； （2）如果AD＝1，CM＝2．求线段BD的长及△BCE的面积． 7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE． （1）求∠ACB的度数； （2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长． 8．在△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连结AD，AO，分别交BC于点E，F，∠CAD＝∠BAO． （1）求证：AD⊥BC． （2）若AO∥CD． ①求证：CA＝CF． ②若CD＝5，，求BC的长． 9．如图，△ABC内接于⊙O，连结AO交CB于点D，交⊙O于点E，已知∠1+∠2＝90°． （1）求证：； （2）若CD＝3，AC＝4，求AB的长； （3）若CA＝CB，设⊙O的半径为r，求△ABC的面积（用含r的代数式表示）． 10．如图，已知⊙O是△BDC的外接圆，点A是上的动点（不与B、D重合），连接并延长BA到E，连接AC、BD交于点F．已知∠EAD＝∠DAC． （1）求证：BD＝CD； （2）若BC＝2，CD＝3，△ADF为等腰三角形，求AB的长． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆． （1）求⊙O的半径； （2）若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点，且PA＝2，请直接写出⊙P的半径的长． 12．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接AD，延长CD至点F，使BF＝BC． （1）求证：BF∥AD； （2）如图（2），当CD为直径，⊙O的半径为1时，求BF的长． 13．如图，在△ABD中，AE、BE分别平分∠BAD和∠ABD．延长AE交△ABD的外接圆于点C，连接CB，CD，ED． （1）若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数． （2）求证：点C是△BDE的外心． 14．如图，△ABC内接于⊙O，，AD⊥BC于点E，交于点D．连接CO并延长分别交AD，AB于点F，G． （1）若∠ACG＝38°，求∠AFG的度数； （2）若，，求⊙O的半径． 15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是弧AB的中点，连接AD，BD，CD． （1）如图1，若∠ACD＝30°，求∠ADB的度数； （2）如图2，若AB＝AC＝10，，求BC． 参考答案 1．【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B， ∴△BAC∽△BCD， ∴， ∵，D为AB中点， ∴， ∴BC2＝16， ∴BC＝4； （2）过点A作AE⊥CD于点E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF， ∵在Rt△AED中，，， ∴DE＝1， ∴， ∵△BAC∽△BCD， ∴， 设CD＝x，则ACx，CE＝x﹣1， ∵在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2， ∴，即x2+2x﹣8＝0， 解得x＝2，x＝﹣4（舍去）， ... ...