人教A版高二(上)数学选择性必修第二册 4.4数学归纳法 导学案（含答案）

人教A版高二(上)数学选择性必修第二册4.4数学归纳法-导学案 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 重点：用数学归纳法证明数学命题 难点：数学归纳法的原理. 数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: 归纳奠基→证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立 归纳递推→以当“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件, 推出“当n=k+1时命题也成立” 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法. 新知探究 在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列{}的通项公式 等，但并没有给出严格的数学证明，那么，对于这类与正整数有关的问题，我们怎样证明它对每一个正整数都成立呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法--数学归纳法 探究1. 已知数列{}满足， = 计算， ， ，猜想其通项公式，并证明你的猜想. 问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？ 我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。 问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？ 问题2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？ 探究2. 你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是 ”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 二二XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX、典例解析 例1.用数学归纳法证明：如果{}是一个公差为的等差数列，那么， = ① 对任何都成立. 用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点: (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况; (2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; (3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形. 跟踪训练1求证:1-+…++…+(n∈N*). 例2已知数列,…,,…,计算S1,S2,S3,S4,根据 计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明. (1)“归纳—猜想—证明”的一般环节 (2)“归纳—猜想—证明”的主要题型 ①已知数列的递推公式,求通项或前n项和. ②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在. ③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题. 跟踪训练2数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明. 1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是(　　) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 2.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是(　　) A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1) C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4) 3.已知f(n)=1++…+(n∈N*),计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,由此推测,当n>2时,有　　　　　. 4.用数学归纳法证明:+…+.假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　　　　　. 5.用数学归纳法证明:当n≥2,n∈N*时,(1-)…(1-)=. 参考答案： 知识梳理 学习过程 一、新知探究 探究1. ... ...