【导数】函数放缩本质是？55个常见函数放缩不等式你知道多少？ 何谓函数放缩？ 函数放缩本质就是用代数函数近似代替超越函数（非代数函数）罢了！近似代替，即不等关系，也即所谓的函数放缩不等式。 这里有两个概念，代数函数和超越函数， 代数函数： 包括我们熟知的一次、二次、三次等多项式函数、反比例函数等分式函数和开方等分数幂函数。 次多项式函数通式为 其中， ； 分式函数，例如 一般指真分式，即，如果则可以通过多项式除法将其化成的形式，其中最高次为次，最高次低于次，即为真分式，最高次为次。 超越函数： 指的是变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数，如三角函数、反三角函数，指数函数、对数函数等。 另外，函数近似替代的一个非常高效的方法便是拟合，函数拟合包括一次拟合（切割线拟合）、二次拟合、三次拟合以及更高观点的三种拟合方式———泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数。 55个常见函数放缩不等式 以下总结的是常见函数放缩不等式，证明很简单，移项作差求导即可，图像和具体证明可参考导数找点技巧中常用的放缩不等式 1、指数 （1） （处取等） （2） （处取等） （3） （处取等） （4） （处取等） （5） （处取等） （6） （7） （8）（关注公众号：Hi数学派） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （处取等） （16） （17） （18） （19） …… 2、对数 （20） （处取等） （21） （处取等） （22） （处取等） （23） （处取等） （24） （处取等） （25） （处取等） （26） （27） （28） （处取等） （29） （处取等） （30） （处取等） （31） （处取等） （32）（关注公众号：Hi数学派） （33） （34） （35） （36） …… 3、三角函数 、、 （37） （38） （39） （40） （41） （42） （43） （44） （） （45） （） 注：当时，图像类似于；当时，图像类似于；当时，图像类似于. …… 4、指对混合 （46） （两个放缩不等式不同时取等号，所以最后只取 ） （47） （处取等） （48） （处取等） （49） （ 处取等） 注：（49）式为朗博不等式，常出现在导数压轴中，不过现在已经烂大街了。。。 （50） （51）（关注公众号：Hi数学派） （52） （53） …… 5、指对三角混合 （54） （55） （处取等） …… 一些典例 ( 【例1． （广东一模T22） 】 已知函数 （1）求 的极值； （2）当 时， ，求实数 的取值范围. ) 【解析】（2）当时， 由朗博不等式， 所以（当时，可以取到等号） 因此，即 【点睛】这样作答时，一定要再证明存在的解 ( 【例 2 ．（2023·全国·高三专题练习）】 已知 ， ， ． (1)当 时，求函数 的极值； (2)当 时，求证： ． ) 【解析】（1），当时，，即在上单调递减， 故函数不存在极值； 当时，令，得， x + 0 - 增函数 极大值 减函数 故，无极小值. 综上，当时，函数不存在极值； 当时，函数有极大值，，不存在极小值． （2）显然，要证：， 即证：，即证：， 即证：．（关注公众号：Hi数学派） 令，故只须证：． 设，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 即，所以，从而有． 故，即． ( 【例 3 ．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）】 已知函数 （ ， 为自然对数的底数）． (1)讨论函数 的单调性； (2)当 时，求证： . ) 【解析】（1）， （ⅰ）当时，，所以，， 则在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，得， ①时，， 所以或，， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ②时，，则在上单调递增； ③时，，所以或，， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增 ... ...
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