中小学教育资源及组卷应用平台 【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末） 第03讲 乘法公式 要点一、平方差公式 1.平方差公式 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 2.平方差公式的几种常见变化及应用 变化公式 应用举例 （1）位置变化 (b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)= （2）符号变化 (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)==- （3）系数变化 (3a+2b)(3a-2b)=-=9-4 （4）指数变化 (+)(-)==- （5）增项变化 (a-b+c)(a-b-c)=- （6）连用公式 (a+b)(a-b)(+)=(-)(+)=- （7）曾因式变化 (-a-b)(-a+b)(a-b)(a+b)=[](-)= 特别提醒：公式特征 1.等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数. 2.等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方. 3.理解字母a,b的意义，平方差公式中的a,b既可以代表一个单项式，也可以代表一个多项式. 要点二、平方差公式的验证 平方差公式的几何意义 边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是；将阴影部分剪拼成一个长方形，这个长方形的长为a+b,宽为a-b，面积为(a+b)(a-b).因为两个长方形的阴影部分面积相等，所以(a+b)(a-b)= 特别提醒： 利用图形验证平方差公式的关键是将同一个图形的面积用不同的方法表示，即直接表示和间接表示. 要点三、完全平方公式 1.完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于他们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 即用字母表示为：=±2ab+ 2.完全平方公式的几种常见变化公式 （1）+=-2ab=+2ab （2）=+4ab （3）=-4ab （4）+=2(+) （5）-=4ab （6）ab=[-(+)]=[-)] （7）+++2ab+2ac+2bc 特别解读： 1.弄清公式的特征：公式的左边是是一个二项式的完全平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的2倍. 2.理解字母a,b的意义：公式中的字母a,b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式. 要点四、完全平方公式的验证 1.验证=+2ab+ 如图，大正方形的面积可以表示为，也可以用四个部分的面积之和来表示，即+ab+ba+，所以=+ab+ba+=+2ab+. 2.验证=-2ab+ 如图，阴影部分的面积可以表示为=，也可用大正方形的面积减去三个空白部分的面积，所以=-(a-b)·b-(a-b)·b=-2ab+ 特别解读： 利用几何图形验证完全平方公式时，所列式子表示同一个图形的面积. 要点五、利用乘法公式进行整式的混合运算 1.当两个三项式相乘是，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，在运用乘法公式计算. 2.整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减. 特别解读： 1.添括号只是一个变式，不改变式子的值. 2.添括号是否正确，可利用去括号检验. 【考点1】运算平方差公式进行运算 【例1】（2023上·全国·八年级课堂例题）计算： ； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2023上·上海·七年级校考期中）下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是（ ） A、 B． C． D． 【变式2】（2022下·浙江杭州·七年级统考期末）若，，则与的等量关系是 （结果不含，）． 【考点2】构造平方差公式进行运算 【例2】（2023上·全国·八年级专题练习）求的个位数字． 【变式1】（2023上·湖北·九年级校考周测）设，则以下四个选项中最接近的整数为（ ） A．252 B．504 C．1007 D．2013 【变式2】（2022下·四川成都·七年级校考期中）计算： ． 【考点3】平方差公式中的整体思想 【例3】（2023上·全国·八年级专题练习）在下列等式中，A和B应表示什么式子？ （1）； （2）． 【变式1】（2023上·四川内江·八年级校考期中）已知，则的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】（2023上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习），则 ． 【考点4】运用平方差公式化简求值 【例4】（ ... ...
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