中小学教育资源及组卷应用平台 专题01 二次根式 一、【知识回顾】 【思维导图】 1.二次根式：一般地，式子叫做二次根式. 注意：（1）若这个条件不成立，则 不是二次根式； （2）是一个重要的非负数，即； ≥0. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.（重点）二次根式的性质：（1）,（2） ；注意使用. 4.二次根式的乘法法则：（1）；（2） 5.二次根式的除法法则：（1）；（2）； 6.分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 常见有理化因式： ，， ，它们也叫互为有理化因式 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．二次根式化简题的几种类型： （1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 7．同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 8.二次根式的加减法则：只有同类二次根式才可以加减，又称作合并同类二次根式；系数进行合并，根式保持不变 9．二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 二、【考点类型】 考点1：二次根式有意义的条件 典例1：（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）已知实数x，y满足，则的平方根为 ． 【变式1】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）已知，则 ． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，则的平方根为 ． 【变式3】（23-24九年级上·河南周口·期中）使代数式 有意义的x的取值范围是 ． 【变式4】（23-24八年级上·上海杨浦·期中）若代数式 有意义，则的取值范围是 ． 【变式5】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）（1）已知，则的值是 ． （2）若，则的平方根是 ． 考点2：二次根式的性质 典例2：（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）若，化简二次根式的结果是 ． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期末）若，化简二次根式 ． 【变式3】（2024八年级·全国·竞赛）已知实数x满足，则 ． 【变式4（23-24八年级上·四川达州·期中）问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： ． 【变式5】（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）化简： ． 考点3：二次根式的非负性 典例3：（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知，则 ． 【变式1】（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）已知a，b都是实数，若，则 ． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期中）已知为实数，且，则 ． 【变式3】（23-24八年级上·江苏泰州·期中）若x、y都是实数，且，则的平方根为 ． 【变式4】（23-24八年级上·福建宁德·阶段练习）已知满足，则= ． 【变式5】（20-21八年级下·江苏泰州·期末）若、满足，则 ． 考点4：二次根式的乘除 典例4：（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】（22-23八年级上·福建漳州·期末）计算： (1)． (2)． 【变式3】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）计算题： (1)； (2) (3)； (4) (5) (6) 【变式4】（22-2 ... ...
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